Sur certains problèmes non linéaires elliptiques et paraboliques dans les espaces de Sobolev et Sobolev-Orlicz

Abstract

Dans cette th`ese notre objectif est d’´etablir des r´esultats d’existence de solutions pour certains probl`emes elliptiques (unilat´eraux) et paraboliques fortement non lin´eaires dans les espaces de Sobolev et d’Orlicz-Sobolev. Le travail se compose de deux parties. Dans la premi`ere nous montrons, dans le cadre des espaces de Sobolev classic, l’existence d’une solution d’un probl`eme unilat´eral associ´e `a l’´equation: A(u) + g(x, u, ∇u) + H(x, ∇u) = f dans Ω, ou` Ω est un ouvert born´e de RN (N ≥ 2) et A(u) := − div a(x, u, ∇u) est un op´erateur de type de Leray-Lions et f ∈ L1(Ω). Un r´esultat de r´egularit´e des solutions d’un probl`eme `a obstacle associ´e `a l’´equation suivante: A(u) + g(x, u, ∇u) = f dans Ω, dans le cadre des espaces d’Orlicz-Sobolev W 1LM (Ω) est ensuite obtenu. Ici, M ´etant est une N - fonction qui ne satisfait pas n´ecessairement la condition ∆2, A est un op´erateur non ”coercif” et g est une fonction qui ne satisfait pas la condition de signe et la donn´ee f satisfait l’une des hypoth`eses f ∈ LN (Ω), ou

f ∈ Lm

(Ω) et

m N−m 1 M (t)

dt < +∞ avec m < N.

Dans la deuxi`eme partie, nous ´etablissons des r´esultats d’existence de solutions renormalis´ees pour les probl`emes paraboliques fortement non lin´eaires dans les espaces de Sobolev du type ∂b(x, u) − div(a(x, t, u, ∇u)\ + g(x, t, u, ∇u) + H(x, t, ∇u) = f dans [0, T ] × Ω, dans le cas variationnel (i.e., f ∈ LpI (0, T ; W−1, pI (Ω))), puis dans le cas f ∈ L1(QT )+LpI (0, T ; W−1, pI (Ω)).