On a class of singular nonlinear elliptic problems

Abstract

Cette thèse concerne l’ ́etude de certains probl`emes elliptiques, non lin ́eaires singuliers. Dans les probl`emes-mod`eles consid ́er ́es au cours de ce travail, nous nous pla ̧cons sur un domaine born ́e Ω de R N , avec des conditions aux limites de type Dirichlet homog`ene. Le caract`ere singulier des diff ́erents probl`emes rencontr ́es, se traduit alors par la pr ́esence dans l’ ́equation d’un terme non-lin ́eaire de la forme u −γ , avec 0 < γ ≤ 1, qui tend vers l’infini au bord du domaine Ω. Ceci pose un certain nombre de difficult ́es, li ́ees au manque de r ́egularit ́e et donc de compacit ́e des solutions, qui ne nous permettent pas d’utiliser directement les m ́ethodes classiques de l’analyse non-lin ́eaire. A travers les Chapitres 3 `a 7, nous avons montr ́e comment ces difficult ́es peuvent ˆetre surmont ́ees et d ́emontr ́e de nouveaux r ́esultats concernant l’existence, la r ́egularit ́e et le comportement asymptotique des solutions faibles. Pour pallier ces obstacles, nous introduirons d’abord une classe de probl`emes approch ́es, en suite par utilisation de Th ́eor`eme de point fixe on arrivera `a d ́emontrer l’existence des solutions approxim ́ees puis nous ́etablirons certaines estimations pour les solutions en prenant des fonctions test appropri ́ees, et enfin, nous utiliserons des r ́esultats de compacit ́e dans les espaces de Sobolev pour passer `a la limite dans les probl`emes d’approximation.