Géométrie des champs de contact

Abstract

Une structure géométrique que nous avons appelée système de contact est mise en place. A chaque système de contact correspond un champ de directions intégrable au sens de Frobenius. La notion d’intégrale première de degré ℓ a été introduite pour exprimer les variétés intégrales. Les réductions ont été définies dans le but d’obtenir de façon pratique ces intégrales premières. Afin de construire des réductions, nous avons introduit et étudié les intégrales premières relatives, les familles de Morse et plus généralement les feuilletages legendriens. Le concept de famille de Morse tel qu’il a été défini possède des propriétés intéressantes. Tout ceci est exploité pour étudier l’intégrabilité du champ de directions associé à un système de contact ; un théorème de JACOBI est établi. Les transformations de contact sont le moyen le plus adapté pour assurer le transport des structures. Elles ont été remodelées dans le cas autonome, introduites et étudiées dans le cas non autonome. Nous montrons l’existence d’un formalisme non autonome pour les champs de contact. Ils se trouvent ainsi munis d’une structure de système de contact. La notion importante d’intégrale première généralisée est définie et ses propriétés sont étudiées. Un aspect lagrangien des champs de contact est mis en évidence. Le cas des systèmes de contact de codimension nulle est basé sur les familles de Morse. Une équation de HAMILTON-JACOBI est définie et le théorème de HAMILTON-JACOBI est adapté. L’algèbre de Lie des champs quasi-hamiltoniens est isomorphe à une sous-algèbre de Li des champs de contact constituée de champs que nous avons appelés champs naturels. Les champs quasi-hamiltoniens, les équations aux dérivées partielles du premier ordre et les systèmes homogènes peuvent être munis d’une structure de système de contact. Une notion de champ limite est étudiée. Elle trouve une application dans un problème restreint que nous avons pris comme exemple de champ naturel.