Processus épidémiques : Modélisation stochastique, simulation et inférence

Abstract

Comprendre la propagation des maladies infectieuses est un enjeu important pour prévenir les épidémies majeures. La modélisation mathématique, et particulièrement la modélisation stochastique, permet d’établir des critères assureront le contrôle de la maladie. Dans cette thèse on a étudié trois modèles épidémiques : le premier met l’accent sur le phénomène de rechute. Ainsi nous avons considéré un système stochastique SIR avec un taux de rechute non linéaire pour modéliser l’influence des individus infectés sur les récupérés. Le seuil RT qui détermine le comportement du système considéré est trouvé. Plus précisément , si RT < 1 la maladie va disparaître de la population avec probabilité un. Tandis que RT > 1 conduit à la persistance de la maladie avec une distribution stationnaire positive unique. Dans un deuxième modèle nous proposons une extension des modèles épidémiques à l’étude de la propagation des virus informatiques dans un réseau alimenté par un antivirus. Dans un premier temps nous avons étudié la stabilité du système déterministe. Ensuite, nous avons considéré une version stochastique de ce système avec des bruits introduits dans deux paramètres et par le biais du seuil Rp nous avons établi le comportement du système considéré. L’observation de tous les aspects d’une épidémie n’est pas réalisable dans la pratique, c’est pourquoi l’estimation des paramètres du modèle doit être faite. Dans un troisième modèle nous utilisons une technique existante pour traiter ce problème, cette technique est fondée sur le principe de ML pouvant être mises en œuvre en l’absence d’expression explicite de la fonction de vraisemblance. Des simulations numériques sont données pour illustrer nos résultats, ainsi que pour formuler certaines hypothèses. Certaines conclusions sont tirées et des orientations futures sont données.