Approximation de surfaces fermées par des fonctions splines et applications

Abstract

Soit S la sphère de ℝ³. Etant donnée une fonction F, à valeurs positive continue, définie sur S. La surface fermée associée à F est définie par SF = {σ(v) : = F(v)v, v ∊S}. Dans ce travail nous nous intéressons au problème d’approximation ou d’interpolation des données sur des surfaces fermées comme la sphère (F ≡ 1). Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques résultats essentiels sur la théorie des splines sphériques. Nous étudierons ainsi, les polynômes de Bernstien-Bézier sphériques, les fonctions homogènes et les polynômes harmoniques. Nous exposons également quelques résultats techniques que nous utiliserons dans les chapitres 2 et 3. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à l’étude des interpolants sphériques d’Hermite et au calcul récursif de ces interpolants. Cette étude mène à la construction d’une base hiérarchique qui a des propriétés intéressantes est qui permet de réduire le nombre de coefficients à calculés. Dans le troisième chapitre, nous proposons une méthode de quasi-interpolation basée essentiellement sur les B-splines sphériques de Powell-Sabin Biji i = 1, …, n, j = 1, 2, 3, et qui s’adapte parfaitement à notre problème. Dans le quatrième, nous nous intéressons à la construction d’un quasi-interpolant de classe C¹ (ou C²) obtenu comme produit tensoriel de deux quasi-interpolants unidimensionnels de classe C¹ (ou C²). Nous proposons notamment comme moyen de compression une analyse multirésolution basée sur le produit tensoriel des ondelettes splines algébriques et des ondelettes UAT-splines. Pour évaluer les différentes approches proposées dans ce document, nous avons effectué une série de tests sur des données réelles des images médicales.