Quelques aspects des équations d'évolution linéaires et quasi-linéaires dans les espaces de Banach

Abstract

On considère le problème de Cauchy associé à l’équation d’évolution :

(*) du + A(t ; u(t))u(t) = f(t,u(t)), 0 dt ≤ t ≤ T

u(0) = x

On se retreint au cas où la famille {A(t,y)} engendre un Co –semi-groupe dans un espace de Banach X. Dans le cas linéaire, on construit l’opérateur associé à la famille {A(t)}. Sous des hypothèses portant sur x,f et A, on montre que la solution construite à partir de l’opérateur d’évolution de x et de f est, soit classique, soit forte et peut être même lipschitsienne. On étudie le cas quasi-linéaire par un procédé de linéarisation. On obtient ainsi une solution locale au problème (*). Ces résultats s’appliquent notamment aux équations hyperboliques, à KdV, … .