Étude de certaines propriétés algébriques dans différents contextes d’anneaux

Abstract

Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans le domaine de l'algèbre commutative et portent principalement sur le transfert de certaines propriétés algébriques à différentes extensions d'anneaux. Cette thèse est structurée en quatre chapitres principaux, auxquels s'ajoute une annexe regroupant les articles publiés ou en cours de publication. Le premier axe de recherche, développé dans les trois premiers chapitres, est consacré à l'étude du transfert de certaines propriétés algébriques aux extensions d'anneaux, notamment l'extension triviale et l'amalgamation. Dans le premier chapitre, nous étudions la classe des anneaux de Steinitz dans le cadre de différents modèles de constructions d'anneaux. Cette étude enrichit la littérature existante en proposant de nouveaux exemples d'anneaux satisfaisant cette propriété. Pour tout anneau R, les implications suivantes sont vérifiées : R est de Steinitz ⟹ R est semi-Steinitz ⟹ R est faiblement semi-Steinitz. Cependant, ces implications ne sont généralement pas réversibles, et les exemples illustrant cette irréversibilité restent relativement rares. L'étude des extensions d'anneaux nous permet ainsi de construire de nouveaux exemples mettant en évidence les distinctions entre ces différentes propriétés. Le deuxième chapitre est consacré à la généralisation de la notion bien connue d'anneau IN, appelée anneau P-IN. Nous étudions ensuite le transfert de cette propriété aux extensions triviales, aux images homomorphes ainsi qu'aux produits directs. Les résultats obtenus nous permettent de construire de nouvelles classes d'anneaux satisfaisant cette propriété. Le troisième chapitre a pour objectif d'introduire deux nouvelles notions : celle d'anneau presque de von Neumann (almost von Neumann, ou AVN-anneau) et celle d'anneau presque quasi-cohérent (almost quasi-coherent, ou AQC-anneau). Par ailleurs, étant donné que les constructions d'extensions et d'amalgamations d'anneaux ont été introduites en algèbre commutative, notamment dans le but de produire des exemples et des contre-exemples originaux, nous consacrons une partie de ce chapitre à l'étude du transfert de ces nouvelles propriétés à travers de telles constructions. Le deuxième axe de recherche, développé dans le quatrième chapitre, a pour objectif d'introduire une nouvelle classe d'anneaux, appelée classe des anneaux g(x)-invo-clean. Dans un premier temps, nous établissons quelques résultats préliminaires relatifs à la propriété g(x)invo-clean. Ensuite, dans le but de construire des exemples originaux d'anneaux invo-clean qui ne sont pas clean, nous étudions le transfert de la propriété invo-clean aux extensions triviales et aux amalgamations. Enfin, dans la dernière section de ce chapitre, nous nous intéressons à l'étude de quelques propriétés de la notion d'anneau unitly invo-clean.