Relation entre ensembles totalement flous et ensembles ordonnés

Abstract

Le présent travail fait suite aux recherches menées sur la théorie des ensembles flous. D. PONASSE a défini la catégorie JTF des J-ensembles totalement flous. Dans sa thèse de 3 ème cycle G. MYCEK a démontré que cette catégorie est un topos lorsque J est un anti-ordinal (c'est-à-dire : J est un ordinal lorsqu’il est muni de l’ordre inverse). Il exhibé tous les objets élémentaires de ce topos. WU TAO, lui, a fait une étude détaillée de ce topos avec J anti-ordinal. Dans leurs articles J. COULON et J.L. COULON montrent que pour J un treillis de Heyting complet la catégorie JTF est équivalente à la catégorie JTF et que JTF n’est pas un topos lorsque J n’est pas un anti-ordinal. Dans la première partie de ce travail je continue l’étude de la catégorie JTF. Je démontre qu’elle est isomorphe à la catégorie notée JID dont les objets sont des ensembles ordonnés et les morphismes sont des applications vérifiant certaines conditions. J’ai traduit les notions e mono, épi et iso (morphisme) dans JID en notions de surjection, injection et bijection. Dans le deuxième partie j’étudie les propriétés catégoriques de JID : objet final (resp. initial), produit (resp. coproduit), pulback (resp. pushout), noyau de paire (resp. conoyau) et l’exponentielle. 1°) Je démontre que la plus grande famille de monomorphismes qu’on peut classer c’est la famille des monomorphismes dits forts. 2°) Je prouve que dans le cas où J est anti-ordinal tout monomorphisme est fort donc JID est un topos. 3°) Lorsque J n’est pas un anti-ordinal il existe des monomorphismes non forts donc non classifiables. Donc JID n’est pas un topos.