Etude d'une classe de systèmes de Schrödinger - Poisson stationnaires tridimensionnels : Existence et comportement asymptotique des solutions

Abstract

Le présent travail porte sur les systèmes de SchrÄodinger{Poisson stationnaires dans l'espace entier R3. Nous traitons deux modèles typiques, quadratique et quasi-linèaire, selon que l'équation de Poisson est linèaire ou quasi-linèaire en le potentiel électrique V . Le premier modèle (quadratique) est un couplage entre l'équation de SchrÄodinger -1/24u + (V + eV )u+!u = 0 et l'équation de Poisson linèaire ¡¢V = juj2 ¡n¤. Sous des hypothèses adéquates, contenant une large classe de eV et n¤ d'intérêt physique pratique, nous montrons l'existence d'un état fondamental (u0; V0) (avec u0 6´ 0 et V0 6´ 0) pour tout ! > 0 assez petit. Dans le second modèle, l'équation de SchrÄodinger est couplée avec l'équation de Poisson quasi-linéaire ¡div £(1 + "4jrV j2)rV ¤ = juj2 ¡ n¤ oµu " > 0. Sous des hypothèses adéquates presque optimales sur eV et n¤, on établit un résultat d'existence d'un état fondamental non trivial (u"; V")(avec u" 6´ 0 et V" 6´ 0) pour tout "; ! > 0 suffisamment petits. On montre également que la solution obtenue (u"; V") converge, lorsque " ! 0+, vers une solution du premier système quadratique.