Etude de quelques problèmes non linéaires issus de la physique et de l'industrie

Abstract

Dans ce travail, nous nous intéressons au problème communément appelé " problème du thermistor". De nos jours, l’industrie fait un large usage du chauffage électrique. Ce processus est basé sur la génération, dans une pièce conductrice, de courants électriques. L’ensemble des phénomènes se déroulant lors du chauffage est décrit par un système d’équations aux dérivées partielles avec croissance quadratique en gradient. L’étude mathématique de ce système, objet du présent travail permet d’établir l’existence, et dans certains cas, l’unicité, d’une solution physiquement acceptable. Les résultats d’existence que nous obtenons au chapitre 3 découlent de l’application de méthode de point fixe de Schauder, combinée à des techniques de régularisation et de compacité de Lions. A partir de considérations physiques, le système peut se réduire à une seule équation qui modélise le chauffage ohmique et le problème obtenu est parabolique et non local et est étudié au chapitre 4. Nous prouvons d’abord quelques résultats d’existence et d’unicité. Utilisant une approche des systèmes dynamiques, nous démontrons ensuite l’existence d’un attracteur compact. U chapitre 5 on poursuit l’étude du problème parabolique non local et on propose une famille de schémas de discrétisation en temps du problème continu par un schéma de type Euler. On s’intéresse, à chaque pas de temps, à la résolution d’une équation elliptique non linéaire ; les conditions aux limites étant de type Dirichlet. Après avoir établi l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions du schéma semi-discrétisé, nous étudions le problème de la majoration de l’erreur. Finalement, l’étude du comportement asymptotique des solutions du problème semi-discrétisé via l’existence d’un attracteur global est obtenue.