Problèmes elliptiques non linéaires dans les espaces de MUSIELAK-ORLICZ-SOBOLEV

Abstract

L’objectif principal de cette thèse est d’étudier les équations elliptiques de la forme :

A(u(x)) + g(x, u(x)) = f (x) (x ∈ Ω) (1) où A est un operateur de type Leray-Lions, de forme divergentielle : A(u) ≡ (−1)|α|DαAα(x, u, ∇u, ..., ∇mu) (2) |α|≤m où u ∈ WmLϕ(Ω), ϕ étant une fonction de Musielak-Orlicz, f une distribution du dual et les Aα vérifiant, entre autre, des conditions de croissance de type Musielak-Orlicz et de monotonie en u et ses dérivées, conditions qui vont nous permettre la résolution, dans le cadre des espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev, de l’équation

A(u(x)) = f (x) (x ∈ Ω) (3) La fonction g de (1) est la "non linéarité forte" ; elle vérifie une condition de signe, mais aucune hypothèse de croissance en u. Dans le début des années 1970 Donaldson avait prouvé un résultat d’existence pour (3) dans les es- paces de Sobolev-Orlicz WmLϕ(Ω) où ϕ est une N-fonction classique dont sa conjugué est supposé satisfaite la condition Delta2. Quelques résultats d’injection ont également été prouvés par Donaldson et Trudinger. Ces résultats ont été étendus en 1974 par Gossez pour une N-fonction classique sans la condi- tion Delta2. Par suite la question suivante a été posée : peut-on étendre ces résultats au cas des espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev WmLϕ(Ω) ? ce qui signifie que la N-fonction dépend de deux variables x ∈ Ω et t ∈ R+. Dans la dernière décennie plusieurs travaux ont partiellement répondu à cette question dans le cadre des espaces de Sobolev à exposant variable, c’est à dire dans le cas particulier où ϕ(x, t) = tp(x). Cette thèse donne une réponse complète à cette question et ouvre la porte devant plusieurs résultats et applications. L’étude de ces problèmes dans les espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev est motivée par de nombreux phénomènes de la physique, à savoir les problèmes liés aux fluides non newtoniens associés au compor- tement fortement non homogène avec des capacités élevées d’augmenter leur viscosité sous différente

stimulation, comme le taux de cisaillement, le champ magnétique ou électrique, ce qui explique la re- cherche intense dans cette direction au cours des dernières années. La sturcture de la thèse est comme suit : – Le premier chapitre contient des résultats d’approximations dans WmLϕ(Rn). – Dans le deuxième chapitre on généralise les résultats d’approximation obtenus dans le premier chapitre au cas d’un ouvert Ω ⊂ Rn de frontière régulière . – Chapitre 3 contient des theorèmes d’injection dans les espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev WmLϕ(Ω) pour une fonction de Musielak-Orlicz générale ϕ ainsi que des résultats d’existence pour des équa- tions de type (3) dans WmLϕ(Ω) obtenus en supposant la condition ∆2 sur la fonction complémen- taire ψ de ϕ. – Le dernier Chapitre contient des résultats d’existence pour des équations et inéquations de type (1) et (3) dans WmLϕ(Ω) dans le cas d’une fonction de Musielak-Orlicz générale ϕ c.à.d sans supposer de condition ∆2 sur la conjuguée de ϕ.