Idempotents dans les algèbres de clifford et fibrations spinorielles amorphes

Abstract

L’objet de ce travail est la définition et l’étude des fibrations spinorielles amorphes sur une variété pseudo-riemannienne: sous fibrés en idéaux à gauche minimaux du fibre de Clifford. Ces fibrations n’ont été introduites que plus récemment par la Professeur A. CRUMEYROLLE. On donne des conditions nécessaires et suffisantes de leur existence qui se traduisent par la possibilité de réduire le groupe orthogonal à un groupe de spinorialité orthogonal. Tenant compte du fait que toute anti-involution γ peut s’écrire sous la forme γ = βoh ou h est un automorphisme on donne une caractérisation des anti-involutions commutant avec l’action d’un sous-groupe H de G en particulier lorsque H = G on trouve β et β̃. On montre aussi lorsqu’on a une réduction du groupe orthogonal 0(p,q) à 0(p)x0(q) qui équivaut à l’existence de l’anti-involution tenant compte de la signature que pour tout idéal à gauche minimal de Cp,q (n = p+q pair) ou de C⁺p,q n impair, il existe un idempotent primitif particulier et une anti-involution laissant cet idempotent invariant et commutant avec l’action d’un sous-goupe du groupe de Clifford, associé à cet idempotent et qui intervient dans le problème de réduction. L’existence de ces fibrations n’est pas reliée aux propriétés intrinsèques de la variété, elles dépendent du choix de l’idempotent engendrant la fibre type ; ceci explique pourquoi les champs d’idempotents primitifs ne sont pas en général une bomme méthode pour définir les fibrations spinorielles amorphes.