Contribution à l’étude mathématique des classes d’équations aux dérivées partielles découlant de la mécanique des fluides

Abstract

L’objectif de ce travail est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires découlant de la dynamique des fluides du type parabolique et elliptiqueparabolique faisant intervenir l’opérateur Laplacian fractionnaire, comme les équations de Debye-Hückel (DHS), de quasi-géostrophiques (QGE), de Navier-Stokes généralisées (grNVS) et de la magnétohydrodynamiques généralisées (grMHD). À l’aide de méthodes d’analyse harmonique basées sur la décomposition de LittlewoodPaley et en utilisant les équations intégrales équivalentes et en recourant à la théorie des points fixes de type bilinéaire, nous obtenons certains résultats d’existence, d’unicité, d’analyticité, de stabilité et de comportement asymptotique des solutions globales. Ce travail est basé sur une étude dans la théorie des espaces fonctionnels, concerne principalement les espaces de Fourier-Besov-Morrey (classiques et généralisées) et leurs application sur ces équations aux dérivées partielles (DHS), (QGE), (grNVS), (grMHD) . Ces espaces généralisent une classe d’espaces fonctionnels qui ont été connu avant comme les espaces de Fourier-Besov, les espaces de Lei-Lin, les espaces de Hölder, les espaces de HölderZygmund, les espaces de Sobolev, les espaces de Sobodekij, les espaces potentiels de Bessel. Dans certain sens, tout ces espaces sont liés à l’espace de Lebesgue usuelle. L’espace de Fourier-Besov-Morrey est construit via une type de localisation sur les espaces de Morrey ainsi que la caractérisation de Littlewood-Paley