Etude de la zéro-dimenstionnalité dans les anneaux commutatifs, réunions filtrantes de sous-anneaux artiniens

Abstract

Littérature mathématique abonde de travaux traitant la classe des anneaux commutatifs de dimension zéro ainsi que le problème de l’injectabilité d’un anneau commutatif dans un anneau de dimension zéro. Dans cette thèse nous étudions certaines questions soulevées dans ce cadre. D’une façon plus précise, nous traitons : (1) Le problème de l’injectabilité dans un anneau de dimension zéro et cela dans le cas des produits infinis d’anneaux commutatifs unitaires. (2) Le comportement de la famille des sous-anneaux artiniens d’un anneau commutatif unitaire.

En premier lieu, nous introduisons un nouvel outil dit ‘’l’indice d’idempotence d’un anneau’’. Celui-ci permettra de caractériser les produits infinis d’anneaux admettant un sous-anneau de dimension zéro. Dans le même contexte, nous caractérisons les paires d’anneaux (R, T) dites de dimension zéro, i.e, tout anneau intermédiaire entre R et T est de dimension 0. En fait, nous traitons le cas où R = ∏αA Rα et T = ∏αA Tα sont des produits infinis d’anneaux de dimension zéro. D’autre part, nous répondrons à une question soulevée par Gilmer et Heinzer et qui porte sur la caractérisation des anneaux admettant un sous-anneau artinien. Nous contrubions également à l’étude des anneaux qui s’écrivent comme réunion filtrante de sous-anneaux artiniens. Entre autre, le chapitre III donne une reformulation du théorème fondamental d’Arapovic sur le problème de l’injectabilité dans un anneau commutatif de dimension zéro, ainsi qu’une caractérisation du T(X)-suranneau minimal de dimension zéro de l’anneau de Nagata R(T), où R T est une extension d’anneaux commutatifs unitaires.