Le problème du bord dans les compactifiés de ¢ⁿ

Abstract

Etant donnée une variété complexe X de dimension complexe n et une sous-variétés réelle, fermée, orientée (ou plus généralement une chaîne fermée) de classe C² à singularités négligeables et de dimension réelle 2p – 1, avec p 1, de X, on cherche une condition nécessaire et suffisante à l’existence d’une p-chaîne holomorphe S de masse finie de X \ M au sens des courants : c’est le problème du bord complexe pour M dans X. Dans ce travail nous donnons une solution à ce problème dans le cas où X est la Grassmannienne complexe C¢(k,n) et M de dimension réelle 1. Nous généralisons ensuite ce résultat à une certaine classe de compactifié de ¢ⁿ. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour qu’un ¢Pp-fibré au dessus de ¢Pq soit un compactifié de ¢p+q et dans lequel le problème du bord complexe est résoluble. Enfin l’étude du cas où dim(M) ≥ 3 est amorcée, nous montrons notamment que le problème est résoluble dans deux cas particuliers : X = G¢(k,n) et dim(M) ≤ 7 ou X est un éclatement de ¢Pⁿ dont le centre est un sous-ensemble analytique de ¢Pⁿ contenu dans un hyperplan projectif de ¢Pⁿ et M de dimension quelconque.