Sur les métriques g-naturelles sur le fibre tangent à une variété riemannienne (M, g)

Abstract

La recherche en géométrie Riemannienne du fibré tangent à une variété Riemannienne a été historiquement lié à la métrique de Sasaki, qui a été son essence et son principal objet. Elle a connu son âge d’or dans les années soixante et soixante-dix du vingtième siècle, mais l’intérêt des géomètres s’est converti, ensuite, vers d’autres domaines de la géométrie différentielle, et les groupes de spécialistes, qui restaient fidèles à ce champ de recherche (et qui sont peu nombreux), se sont trouvés focalisés sur les fibrés (unitaires) sphériques tangents à une variété Riemannienne, en tant que sous-variétés du fibré tangent, en vertu de la richesse de leurs structures. Ce désintérêt quant au fibré tangent était certainement dû au fait que toutes les propriétés liées à la métrique de Sasaki sur le fibré tangent ont été amplement discutées, et la plupart des questions, qui y sont liées, ont été résolues. Même avec l’introduction de la métrique de Cheeger-Gromoll sur le fibré tangent à une variété Riemannienne, qui a pu résoudre partiellement le problème de rigidité de la métrique de Sasaki, peu de travaux relatifs à cette nouvelle métrique a été réalisé. Ceci peur s’expliquer par la non obtention de structures géométriques intéressantes de cette métrique (par exemple, elle ne peur jamais être à courbures sectionnelle constante quelle que soit la métrique de base, d’une part, et par le fait que le fibré unitaire tangent muni de la métrique de Cheeger-Gromoll est isométrique à un certain fibré sphérique tangent muni de la métrique de Sasaki. La présente étude a mis en exergue l’existence de structures intéressantes sur le fibré tangent muni de certaines métriques g-naturelles Riemanniennes sur le fibré tangent à une variété Riemannienne (M,g), d’autant plus qu’elle a pu nous libérer du contexte classique étroit, qui lie la géométrie Riemannienne du fibré tangent à la métrique de Sasaki, et qui a conduit à l’étouffement des voies de recherche dans cette discipline. La richesse de la géométrie du fibré tangent, muni de ces métriques g-naturelles Riemanniennes, va permettre, sans doute, d’ouvrir des horizons pour la relance de la recherche en géométrie différentielle du fibré tangent.