Sur la stabilité de l'homologie du groupe linéaire et de son algèbre de lie

Abstract

Etant donné un anneau A, l’inclusion du groupe linéaire GLp(A) dans GLp₊₁(A), induit, pour tout n ≥ 0, un morphisme de groupes abéliens Hn ( Glp(A), ℤ ) Hn ( GLp₊₁(A), ℤ ). A.A.Suslin a montré que si F est un corps commutatif infini, ces homomorphismes sont des isomorphismes pour p ≥ n. De plus, il a prouvé que cette borne est la meilleure possible en montrant que la première obstruction à la stabilité, c'est-à-dire le groupe abélien Hn ( GL n₊₁( (F), ℤ ) / Im Hn ( GLn (F), ℤ ), est isomorphe au groupe abélien de K-théorie de Milnor de F qui, en général, n’est pas nul. A la suite de ces travaux, D. Guin a démontré que pour une large classe d’anneaux, les homomorphismes Hn ( GLp(A), ℤ ) → Hn ( GLp₊₁(A), ℤ ) sont des isomorphismes pour p ≥ n, et il a lié la première obstruction à cette stabilité, Hn ( GLn₊₁( (A), ℤ ) / Im Hn ( GLn (A), ℤ ), à la K-théorie de Milnor de l’anneau A. L’objet de cette thèse est d’étudier le problème de la stabilité de l’homologie du groupe linéaire à coefficients dans l’action adjointe. Pour tout anneau A et tout A-bimodule B, les inclusions du groupe linéaire GLp(A) dans GLp₊₁ (A) et de l’anneau des matrices Mp(B) dans Mp₊₁(B), induisent, pour tout n ≥ 0, un morphisme de groupes abéliens Hn ( GLp(A), Mp(B) → Hn ( GLp₊₁(A), Mp(B). W. G.Dwyer a prouvé que les groupes d’homologie Hn ( GLp(A), Mp(A) ), n ≥ 1, se stabilisent pour p assez grand. Nous montrons dans ce travail pour qu’une large classe d’anneaux, ces morphismes sont isomorphismes pour p ≥ n+1. Le groupe abélien Hn ( GL n₊₁(A), M n₊₁( (B) ) / Im Hn ( GLn (A), Mn(B) ), est alors la première obstruction à cette stabilité. Nous montrons que ce groupe est isomorphe aux formes différentielles de Kähler absolues de A à coefficients dans B, c'est-à-dire B ⊗ A ΩⁿA. Nous étudions ensuite, la stabilité de l’homologie de l’algèbre de Lie des matrices GLp(A) à coefficients dans l’action adjointe, et nous établissons les analogues des résultats ci-dessus dans cette situation.