Sur le contrôle et l'analyse d'une classe de systèmes non linéaires : Admissibilité, routage et immunologie

Abstract

Ce travail est une contribution à l’analyse et au contrôle des systèmes discrets à paramètres localisés et répartis. Les systèmes considérés sont linéaires ou non linéaires. Ainsi, nous avons considéré, dans le premier chapitre de cette thèse, un système discret non linéaire. Nous avons développé des techniques et des algorithmes nous permettant de caractériser, d’une manière pratique, les perturbations qui sont relativement tolérables. Des exemples et des simulations numériques sont donnés. Moyennant la technique d’espace d’état, les résultats obtenus ont été étendus au cas des systèmes discrets avec retard. Dans le chapitre II, nous nous sommes intéressés à la caractérisation des données initiales x(0), d’un système autonome à dynamique non linéaire, pour lesquelles la sortie y(i) satisfait aux contraintes y(i) 2 , 8i 2 N. Nons avons démontré que si contient l’origine dans son intérieur, l’ensemble admissible maximal XM 1 est caractérisé par un nombre fini d’équations et son indice d’admissibilité se calcule de manière algorithmique. Des exemples et des simulations numériques sont donnés. Là aussi le cas avec retard est étudié. L’approche développée dans ce chapitre a été utilisée pour caractériser l’ensemble des perturbations qui affectent l’état d’un système non linéaire discret. Dans le chapitre III, nous nous sommes intéressés à un problème inverse, c’est-à-dire nous intéressons à la détermination du contrôle optimal u qui, appliqué au système, conduit ce dernier a une sortie (y(i))i tels que yi = yd i , 8i 2 {1,..,N} où (yd i )i est une consigne prédéfinie. Moyennant une technique basée sur le théorème du point fixe, nous avons abouti à une solution du problème. Dans le chapitre IV, nous avons contribué à la recherche d’une thérapie optimale pour le traitement du SIDA, nous avons introduit une variable de contrôle simulant l’action d’ inhibiteurs du VIH, dans un système non linéaire modélisant l’intéraction du virus VIH avec les cellules T CD4+. Une application du principe du maximum nous a permis de caractériser le contrôle optimal. Ce travail a répondu à plusieurs questions , mais il en a également soulevé d’autres. Citons à titre d’exemple: 1. L’application des techniques utilisées dans les chapitres II et III pour des systèmes continus dans le temps. 2. L’étude du problème de l’immunologie, sujet du chapitre IV, mais avec des contrôles en escaliers, ce qui est plus réaliste sur le plan clinique.