Contributions to Nonlinear Evolution Equations and Partial Functional Differential Equations : Quantitative and Qualitative Analysis

Abstract

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude quantitative et qualitative de cer taines équations d’évolution non linéaires et certaines équations aux dérivées partielles fonc tionnelles : • Des équations intégrales non linéaires à retard infini apparaissant en épidémiologie ont été considérées. Sans aucune hypothèse de monotonie sur les termes forcing, nous avons donné des conditions suffisantes qui garantissent l’existence et l’unicité des solutions pos itives µ-pseudo presque périodiques. Ceci nous a permis d’améliorer et d’étendre certains résultats de la littérature. Nos outils de travail sont basés sur la métrique projective de Hilbert et le principe de contraction de Banach. • En utilisant une formule de la variation de la constante et la décomposition spectrale de l’espace de phase, nous avons étudié la nature de solutions bornées pour une classe d’équations aux dérivées partielles fonctionnelles à retard fini de type neutre lorsque le terme forcing est presque périodique au sens faible. Plus précisément, nous avons prouvé sous une condition de compacité que toutes les solutions bornées sur R sont presque péri odiques lorsque le terme forcing est seulement presque périodique au sens de Stepanov. Puis, nous avons montré que l’existence d’une solution bornée sur R + est suffisante pour assurer l’existence d’une solution presque périodique. • De plus, en utilisant des outils de la dichotomie exponentielle et la théorie du point fixe, nous avons donné des conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité de solutions (µ, ν)- pseudo presque automorphes pour quelques équations différentielles ordinaires lorsque le terme forcing est (µ, ν)-pseudo presque automorphe. • Aussi, nous avons donné des conditions suffisantes pour l’existence de solutions faibles compactes presque automorphes pour certaines inclusions différentielles générées par un opérateur maximal monotone. Nous avons montré que l’existence d’une solution faible uni formément continue sur R + à image relativement compacte dans R + implique l’existence d’une solution faible compacte presque automorphe lorsque le terme forcing est compact presque automorphe. Lorsque l’opérateur est fortement maximal monotone, nous avons montré l’existence et l’unicité d’une solution faible bornée qui est globalement attractive et compacte presque automorphe. Ce dernier résultat a été ensuite étendu au cas µ-pseudo compact presque automorphe. • Enfin, nous avons utilisé la mesure de non compacité, le théorème du point fixe de Mönch et la théorie des opérateurs résolvants de Grimmer pour obtenir l’existence de solutions ix MOHAMED ZIAT DOCTORAL THESIS LABORATORY : LMACS intégrales pour certaines équations intégro-différentielles à retard fini avec une condition non locale dans un espace de Banach. Les hypothèses de nos résultats n’imposent pas l’équicontinuité à l’opérateur résolvant. En conséquence, les résultats obtenus dans cette partie améliorent, étendent et complètent de nombreux autres résultats importants de la littérature