Structure et dualité des codes constacycliques sur les anneaux a chaîne finis

Abstract

Soient R un anneau commutatif fini et λ un élément inversible dans R. Un code constacyclique de longueur N associé à λ peut être défini comme étant un idéal de R[X]/ < XN λ > . Dans cette thèse, nous nous intéressons aux codes constacy- cliques de longueur quelconque, définis sur des anneaux à chaîne finis. Nous traitons dans un premier temps les codes constacycliques à racines simples, c’est-à-dire les codes dont la longueur est premier avec la caractéristique de l’an- neau R. Nous optons pour une approche nouvelle en utilisant les idempotents. Nous construisons un système complet unique d’idempotents primitifs orthogo- naux deux à deux de l’anneau quotient R[X]/ < g >, où R est un anneau local fini et g un polynôme unitaire. Nous utilisons cette famille d’idempotents pour dé- terminer la structure des codes constacycliques à racines simples ainsi que de leur duaux. Nous caractérisons les codes constacycliques à racines simples auto-duaux non triviaux et nous montrons que leur étude se résume aux codes cycliques et négacycliques auto-duaux non-triviaux. Dans un second temps, nous traitons les codes constacycliques à racines mul- tiples associés à un élément inversible λ sur un anneau à chaîne fini R ; c’est-à-dire les codes dont la longueur n’est pas premier avec la caractéristique de R. Nous construisons un isomorphisme entre l’anneau R[X]/ < Xn λ > et la somme directe de certains anneaux quotients. Cela nous permet de caractériser la struc- ture de ces codes ainsi que de leur duaux. En particulier nous faisons une étude détaillée pour les codes cycliques et codes constacycliques associés à (1 + λγ) où γ est le générateur de l’idéal maximal de R. Nous généralisons par la suite nos résultats aux anneaux principaux en parti- culier à l’anneau principal Fq + uFq + vFq + uvFq, où u2 = u, v2 = v, uv = vu; pour lequel nous construisons une application de Gray. Nous constatons que l’image d’un code cyclique de longueur n sur cet anneau par cette application de Gray est un code 4-quasi cyclique de longueur 4n sur Fq.