Nouvelles méthodes de factorisation pour des matrices structurées

Abstract

Nous nous sommes intéressés au problème de calcul de valeurs propres et sous espaces invariant d’une matrice structurée (Hamiltonienne, anti-Hamiltonienne, symplectique). Il intervient dans plusieurs applications dont principalement la théorie du contrôle et traitement de signal. L’objectif de cette thèse, est l’élaboration et l’étude de méthodes numériques adaptées aux matrices structurées (Hamiltonienne, anti-Hamiltonienne, symplectique). Ces méthodes sont construites de telle sorte que la conservation de la structure d’origine de la matrice soit garantie lors du processus de calculs. Cela n’est possible que par des transformations symplectiques. L’approche développée dans cette thèse est basée sur l’introduction de nouvelles transformations symplectiques pour la décomposition SR. Cette approche est basée sur la structure du K-module libre ℝ²ⁿˣ²et aussi plus généralement C²ⁿˣ² avec K = ℝ²ⁿˣ² ou C²ⁿˣ². Ces transformations sont basées sur la version symplectique de Gram-Schmidt, Householder et du réflecteur. Elles permettent de décomposer une matrice A sous la forme A = SR où S est symplectique ou orthogonale et symplectique et R J-triangulaire ou semi-J-triangulaire. Ces transformations nous ont aussi permis d’établir une forme canonique de Jordan pour des matrices Hamiltoniennes. Nous avons également traité, les méthodes de type projections (Arnoldi, Lanczos) sur cette nouvelle structure de –module libre avec K-module libre ℝ²ⁿˣ² avec K = ℝ²ⁿˣ². Les exemples numériques que nous avons traités montrent l’efficacité de notre approche.