Méthodes nodales de résolution des équations aux dérivées partielles en neutroniques et en mécanique des fluides incompressibles

Abstract

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'application des méthodes nodales aux équations aux dérivées partielles en neutronique et en mécanique des fluides incompressibles. La partie neutronique comprend : -Une introduction des méthodes nodales comme étant des méthodes d'éléments finis non-conformes, où les degrés de liberté sont les moments de Legendre d'un ordre k de la fonction considérée. Ces moments sont pris à l'intérieur d'un élément du maillage rectangulaire du domaine et sur ces quatre faces. Dans un cadre elliptique, le schéma nodal d'indice k conduit à une approximation qui peut atteindre O(hk+3)dans L2. - Une méthode nodale d'ordre élevée est appliquée aux équations de diffusions multigroupes de neutrons. On s'est intéressé en plus du cas sans up-scattering au cas du couplage des groupes d'énergie en présence des termes de "remontée en énergie". Le problème aux valeurs propres généralisé à la recherche de l'état stationnaire de criticité est traité via la méthode de puis- sance inverse. La discrétisation nodale de l'opérateur de diffusion est écrite sous la forme canonique des équations matrices-réponses en fonction des courants moyens partiels pondérés. Les réacteurs 2D-PWR, 2D-IAEA LWR et 2D-LMFBR sont les benchmarks pris pour les tests numériques. La partie de l'écoulement des fluides incompressibles comprend : -Un passage en revue de deux schémas numériques hybrides pour la résolution des équations de diffusion-convection (C-D) sur un domaine à géométrie arbitraire. Le domaine est subdivisé en des rectangles à l'intérieur et des triangles en frontière. De sorte que l'on puisse appliquer une méthode nodale àl'intérieur du domaine puis l'hybrider à une variante d'éléments finis adéquate en frontiµere. Deux procédures hybrides sont exposées : la première qui combine éléments finis/méthode nodale intégrale (NIM/FEM) repose sur une fonction test, écrite en fonctions des valeurs moyennes faciales de l'inconnue sur les arrêtes d'un triangle donné, et assujettie à vérifier l'équation (C-D) au sens intégrale. La deuxième qui combine éléments finis analytiques/méthode nodale intégrale (NIM/FAM) utilise les solutions analytiques unidimensionnelles de l'équation (C-D) suivant les axes x et y. Les équations algébriques discrètes pour les deux schémas hybrides sont déduites en utilisant les contraintes de conservation et de continuité du flux sur l'interface triangle rectangle. -Une procédure hybride (NIM/FAM) est appliquée au système de Navier- stokes (NS) écrit sous une forme explicite en terme de pression. Le domaine d'étude associe des pyramides en frontière à des parallélépipèdes rectangles,l'axe temporel étant traité au m^eme titre que les axes spatiaux. Un pro- cessus itératif temporel est généré en présence de la nonlinéarité convective et des solutions unidimensionnelles de (NS) sont données localement dans l'optique d'un couplage avec des valeurs moyennes faciales fournies par une discrétisation nodale standard µa l'intérieur du domaine. Les contraintes de conservation et de continuité sont applicables pour aboutir aux équations discrètes finales en termes des valeurs moyennes faciales de vitesse et pression. Le fluide en cavité entrainé modifié est utilisé pour valider les tests numériques. -Une extension de la discrétisation nodale au champ des fluides viscoélastiques est aussi considéré. Nous nous sommes intéressés au module d'Oldroyd B, nous procédons via un schéma découplé du point fixe basé sur l'équation de transport du tenseur des contraintes et sur le système (NS) en vitesse-pression. Nous commençons par traiter le cas stationnaire d'un fluide rampant dont la seule nonlinéarité convective est celle de la loi constitutive. La discrétisation du problème de transport utilise des transformations de nonlinéarité exposées au début de cette partie. Pour le cas évolutif, les non-linéarités convectives du système (NS) et de la loi constitutive génèrent un processus itératif temporel. L'écoulement d'un fluide rampant stationnaire dans un carré unité est utilisé et une comparaison avec le schéma hybride élément finis/volumes finis a montré l'e±cacité de l'approche nodale dans le champ viscoélastique.