Méthodes sans maillage de type SPH pour la simulation de modèles de Black et Scholes

Abstract

Les ´equations aux d´eriv´ees partielles jouent un rˆole tr`es important dans le monde de la finance puisque la plupart des probl`emes de la finance sont mod´elis´es `a l’aide d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Ces probl`emes sont en g´en´eral tr`es complexes, de sorte que les solutions analytiques sous forme ferm´ee sont rarement disponibles. Dans cette th`ese nous proposons une approche num´erique fiable pour r´esoudre certains probl`emes de pricing des options dans le cadre des mod`eles de Black et Scholes et Heston. Cette approche est essentiellement bas´ee sur la m´ethode sans maillage SPH pour approximer les d´eriv´ees spatiales et la q-m´ethode pour discr´etiser la d´eriv´ee temporelle. Dans un premier temps nous concentrons sur le mod`ele de Black et Scholes. Nous commenc¸ons par r´esoudre les probl`emes de pricing d’options europ´eennes. Ensuite nous passons `a la r´esolution de leurs homologues am´ericaines qui impliquent une fronti`ere libre et donc normalement difficiles `a ´evaluer par d’autres m´ethodes num´eriques classiques. Les r´esultats obtenus sont tr`es prometteurs pour les deux types d’options ci-dessus et nous ´etendons donc le champ d’application de cette approche pour y inclure des options plus complexes, `a savoir les options asiatiques, les options `a barri`eres et les options binaires. Finalement nous appliquons la m´ethode aux probl`emes de pricing d’options europ´eennes et am´ericaines dans le mod`ele `a volatilit´e stochastique de Heston. Ce mod`ele constitue une extension, `a la forme bidimensionnelle (en espace), du mod`ele de Black et Scholes. Afin de valider l’approche propos´ee, plusieurs simulations num´eriques sont effectu´ees, les r´esultats obtenus sont compar´es `a d’autres m´ethodes num´eriques couramment utilis´ees dans le domaine des math´ematiques financi`eres, telles que les m´ethodes de Monte Carlo, diff´erences finis et ´el´ements finis.