Sur certains problèmes paraboliques non linéaires dans les espaces de Sobolev avec poids et dans les espaces de Sobolev d’Orlicz

Abstract

L’objectif de ce travail est l’´etude de divers probl`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires de type paraboliques faisant intervenir un op´erateur du type Leray- Lions avec des donn´ees peu r´eguli`eres. Nous avons ´etudi´e trois types de probl`emes. Ces types regroupent des probl`emes dont les solutions se trouvent dans des es- paces d´ependant de la variable d’espace: il s’agit des espaces de Lebesgue et de Sobolev avec poids et d’Orlicz-Sobolev.

Notre ´etude est port´ee sur le cas ou` les donn´ees sont dans L1 ou L1(Q) + LpI (0, T ; W−1,pI (Ω)).

Nous ´etablissons dans le chapitre 2 des r´esultats d’existence et d’unicit´e de solutions renormalis´ee de probl`emes rentrant dans le cadre dit d´eg´en´er´e : ∂u ∂t − div(a(x, t, Du)) = f dans Ω × (0, T ),

u = 0 sur ∂Ω×]0, T [, u(x, 0) = u0 sur Ω du fait que l’op´erateur de Leray-Lions A est de Lp(0, T ; W 1, p(Ω, w)) vers le dual LpI (0, T ; W−1,pI (Ω, w∗)).

(0.0.1)

Dans le chapitre 3, nous ´etudions un probl`eme de type: ∂b(u) ∂t − div(a(x, t, u, Du)) + div(φ(u)) = f dans Q = Ω × (0, T ), b(u)(t = 0) = b(u0) dans Ω u = 0 sur ∂Ω×]0, T [. Nous montrons un r´esultat d’existence de solution renormalis´ee pour ce probl`eme.

(0.0.2)

Le deuxi`eme type de probl`emes que nous abordons dans cette th`ese est un probl`eme fortement non lin´eaire avec une donn´ee L1(Q) ou L1(Q) + LpI (0, T ; W−1,pI (Ω)). Dans le chapitre 4 nous ´etudions le probl`eme d´eg´en´er´e dans l’espace de Sobolev avec poids: ∂b(x, u) ∂t − div(a(x, t, u, Du)) + H(x, t, u, Du) = f dans Q = Ω × (0, T ), u = 0 sur ∂Ω (0, T ), (0.0.3) b(x, u)11t=0 = b(x, u0) sur Ω, nous montrons un r´esultat d’existence de solution renormalis´ee pour ce probl`eme sans aucune condition de signe suppos´ee sur le terme fortement non lin´eaires H .

Dans le chapitre 5 nous ´etudions ce probl`eme de type: ∂b(x, u) ∂t − div(a(x, t, u, Du)) + H(x, t, u, Du) = µ dans Q = Ω × (0, T ), u = 0 sur ∂Ω (0, T ), b(x, u)11t=0 = b(x, u0) sur Ω.

(0.0.4)

Nous montrons un r´esultat d’existence de solution renormalis´ee pour ce probl`eme sans aucune condition de signe sur le terme fortement non lin´eaires H avec µ L1(Q) + LpI (0, T ; W−1,pI (Ω)). Dans le chapitre 6, nous ´etudions un probl`eme unilat´eral dans l’espace d’Orlicz-Sobolev : u ≥ ψ a.e. in Ω × (0, T ),

∂b(x, u) ∂t − div(a(x, t, u, Du)) + H(x, t, u, Du) = f dans Ω × (0, T ), b(x, u)(t = 0) = b(x, u0) dans Ω, u = 0 sur ∂Ω × (0, T ).

(0.0.5)

On introduit une nouvelle notion de solution dite solution entropique unilat´eral. Nous montrons des r´esultats d’existence pour cette notion de solution en utilisant la m´ethode de p´enalisation.