Sur le treillis des sous-algèbres d'une algèbres de Boole

Abstract

Soit B une algèbre de Boole, et Sub(B) le treillis de sous-algèbres de B. Le treillis Sub(B) est complet, possède un plus petit élément 2 = {0,1} qui est, par définition, de hauteur 0 et un plus grand élément B qui est par définition, de cohauteur 0. Les éléments de Sub(B) de hauteur à 2 sont les sous-algèbres à 4 éléments. Les éléments de Sub(B) de cohauteur 1, appelés aussi coatomes, sont les sous-algèbres engendrées par les intersections de 2 ultrafiltres de B distincts. Les éléments de Sub(B) de cohauteur 2- i.e. les éléments minimaux parmi les éléments de Sub(B) qui ne sont pas B ou des coatomes- sont caractérisés comme étant les sous-algèbres contenues strictement dans 2 ou 3 coatomes exactement qui sont respectivement de la forme C = <U₁∩U₂∩U₃U₄> où C = <U₁∩U₂∩U₃> où les ultrafiltres Ui sont deux à deux distincts. Dans la suite A et B sont deux algèbres de Boole. Soit une fonction de Sub(B) sur Sub(A) préservant l’infimum et un certain nombre de propriétés relatives à l’ensemble des sous-algèbres de hauteurs 0, 1 et de cohauteurs 0, 1 et 2, (comme par exemple l’image d’un élément de hauteur 1 (resp. de cohauteur 1) est un élément de hauteur au plus 1 (resp. de hauteur au plus 1) permet de montrer que si C ∈ Sub(A) est un élément de cohauteur 2 qui est contenu exactement dans 3 coatomes alors C est l’image par Φ d’un élément de Sub(B) qui a la même propriété, ce qui permet d’associer à un ultrafiltre U fixé de A, un ultrafiltre U* de B. On peut alors construire un plongement f de A dans B dans B tel que f⁻¹[C]=Φ(C) pour tout C ∈ Sub(B). en particulier, on retrouve un résultat de Sachs : si Sub(A) et Sub(B) sont isomorphes, alors A et B sont isomorphes. Soit Φ une fonction de Sub(A) sur Sub(B) préservant le supremum et un certain nombre de propriétés relatives à l’ensemble des sous-algèbres de hauteurs 0, 1 et de cohauteurs 0, 1 et 2, (comme par exemple l’image d’un élément de hauteur 1 (resp. de cohauteur 1, resp. de cohauteur 2) est un élément de hauteur au plus 1 (resp. de cohauteur au plus 1, resp. de cohauteur au plus 2) et si C est un élément de cohauteur 2 qui est contenu exactement dans 3 coatomes alors il en est de même de Φ(C) si celle-ci est de cohauteur 2, ce qui permet d’associer à un ultrafiltre U fixé de A, un ultrafiltre U* de B. Ainsi on peut construire un hormorphisme surjectif f de A dans B tel que f[C]=Φ(C) pour Tout C∈ Sub(A). On généralise ces résultats dans le contexte des algèbres universelles, pour les extensions Booléennes d’une algèbre primale.