Étude théorique et approximation numérique d’un problème inverse modélisant l’écoulement d’air dans les poumons.

Abstract

Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre de la résolution mathématique et numérique d’un problème inverse de Cauchy, provenant de la modélisation de l’écoulement d’air dans les poumons. Il s’agit de développer des méthodes permettant d’identifier la pression et la vitesse d’air dans les poumons, notamment sur les frontières artificielles de l’arbre bronchique à partir de mesures effectuées sur la partie proximale. Pour cela, nous avons proposé deux approches à caractère régularisant permettant de remédier au problème d’instabilité sévère que connait ce genre de problèmes inverses. La première approche, basée sur la technique de décomposition de domaine, vise à reformuler le problème inverse en un problème de point fixe en introduisant un opérateur du type Steklov-Poincaré. Nous avons d’abord établi un résultat d’existence et d’unicité du point fixe à l’aide du degré topologique de Leray-Schauder pour pallier au problème de manque de cœrcivité de tel opérateur. Ensuite, nous avons proposé un algorithme de point fixe pour résoudre notre problème. Cette approche nous offre l’opportunité d’exploiter différents algorithmes issus des méthodes de décomposition de domaine à savoir "Neumann-Neumann" et "RobinRobin". Enfin, en utilisant une approximation par la méthode des éléments finis de type P1Bulle/P1, nous avons présenté plusieurs tests afin de valider cette approche numériquement en discutant la convergence et la stabilité numériques et comparant aussi les différents algorithmes mis en œuvre. Quant à la deuxième approche, elle vise dans un premier temps à réécrire notre problème sous forme d’un problème aux limites avec des conditions du type Robin complexes, dont la solution admet une partie imaginaire nulle. Nous avons proposé ainsi une formulation en optimisation de ce problème basée sur la méthode de régularisation de Tikhonov. Puis nous avons établi un résultat d’existence de la solution du problème d’optimisation obtenue, laquelle nous l’identifions en fonction de la solution d’un problème d’état adjoint. Nous avons aussi prouvé la convergence d’une sous-suite de solutions des problèmes régularisés vers la solution du problème de Cauchy, quand le niveau du bruit tend vers zéro. Nous avons montré également l’existence et la convergence des solutions des problèmes régularisés discrets obtenues via une approximation par éléments finis P1Bulle/P1. Ensuite, nous avons proposé un algorithme de résolution directe et rapide permettant de produire des solutions numériques convergentes et stables. Finalement, dans le but de concrétiser les résultats déjà obtenus, nous nous sommes intéressés à la simulation numérique d’un problème inverse de Cauchy modélisant l’écoulement d’air dans un domaine 2d simulant l’arbre bronchique. Nous avons ainsi exploité les différentes approches proposées dans cette thèse pour présenter quelques résultats numériques d’approximation du champ de vitesse et de pression sur les frontières artificielles de l’arbre bronchique, tout en discutant leur stabilité.