Perturbations non bornes de semi-groupes et applications

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation du transport monodimensionnel. Nous nous plaçons dans le cadre du transport singulier où la fréquence des collisions et l’opérateur de collision ne sont pas bornés dans les espaces naturels. Nous considérons l’équation munie des conditions aux limites réflexives ou périodiques. Nous montrons l’existence et l’unicité des solutions du problème de Cauchy en utilisant la théorie des perturbations (non bornés) de Miyadera. Nous établissons des résultats de compacité des restes de la série de Dyson-Phillips reliant le semi-groupe non perturbé. Nous déduisons de ces résultats la stabilité du spectre essentiel. Nous donnons des résultats de compacité sur la résolvante que nous utilisons pour analyser le spectre asymptotique de l’opérateur de transport. Nous obtenons un comportement asymptotique des solutions en utilisant un calcul de Dunford. La dernière partie est consacrée aux questions liées à la positivité. Nous montrons l’irréductibilité du semi-groupe perturbé, l’existence des valeurs propres ainsi que la monotonie de la valeur propre principale par rapport à l’opérateur de collision et par rapport au domaine spatial.