LA PROPRIET´ E DE SCHREIER ET ´ FACTORISATION DANS LES ANNEAUX DE SEMI-GROUPES

Abstract

Soit D un anneau commutatif int`egre et Γ un monoide commutatif simplifiable et sans torsion. On d´esigne par D[Γ] l’anneau de semi-groupe de Γ sur D. Au cours des derni`eres ann´ees, plusieurs auteurs se sont int´eress´es par les propri´et´es de factorisation dans D[Γ]. Ce qui a conduit `a la construction de nouvelles classes d’exemples originaux en alg`ebre commutative et en th´eorie de factorisation. L’objectif principal de cette th`ese est l’´etude de certaines propri´et´es de factorisation dans les anneaux de semi-groupes. Ainsi, les chapitres 2 et 3 sont consacr´es `a l’´etude de la propri´et´e de Schreier. Dans le chapitre 2 nous ´etudions la primalit´e et la propri´et´e de Schreier dans le contexte plus g´en´eral des anneaux gradu´es. Ensuite, nous appliquons cela aux anneaux de semi-groupes. Le chapitre 3 est d´evou´e aux anneaux de type A + B[Γ ∗ ], o`u A ⊆ B est une extension d’anneaux int`egres et Γ est un monoide commutatif simplifiable et sans torsion, avec Γ ∩ −Γ = {0}. Nous donnons des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que A + B[Γ ∗ ] soit de (pr´e– )Schreier. Dans le cas o`u B est un anneau de fractions de A ou Γ contient un ´el´ement irr´eductible, notre caract´erisation g´en´eralise celle connue dans le cas des anneaux de polynˆomes (Γ = N). D’autre part, si B n’est pas un anneau de fractions de A, nous montrons que si l’anneau A + B[Γ ∗ ] est de Schreier, alors Γ est un monoide sans atomes. Dans le chapitre 4, nous essayons d’´etendre, aux anneaux A + B[Γ ∗ ], une vari´et´e de propri´et´es de factorisation (atomique, ACCP, BFD) plus faibles que celles des anneaux factoriels.