Construction de B-splines et quasi-interpolants associés sur un réseau quadridirectionnel uniforme du plan

Abstract

Soit τ le réseau quadridirectionnel uniforme du plan. Dans ce travail nous nous intéressons à la construction de nouvelles familles de B-splines assez régulières et qui généralisent les B-splines classiques existantes sur τ. Dans la première partie, nous étudions des espaces de B-splines de classes Ck sur IR² et de support simple : un carré formé de quatre triangles ou un lozange formé de huit triangles de τ. Nous calculons d’abord les dimensions de ces espaces, ensuite nous déterminons le degré minimal pour lequel la construction d’une B-spline à support simple est possible. Nous donnons les principales propriétés de ces B-splines et nous décrivons un algorithme qui permet de calculer tous les B-coefficients de celles de degré minimal. En convolant ces B-splines à support simple avec la fonction caractéristique d’un carré ou d’un lozange, nous construisons de nouvelles familles de B-splines composées. Nous donnons leurs propriétés et nous détaillons un algorithme qui permet de calculer tous leurs B-coefficients. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l’étude de l’approximation dans l’espace engendré par les translatées entières de l’une des B-splines composées, par des opérateurs locaux appelées quasi-interpolants, réalisant un ordre d’approximation optimal. Leur construction explicite se base essentiellement sur les valeurs des B-splines aux points de Z² et qui sont calculés à l’aide de l’algorithme cité ci-dessus. Ensuite, nous abordons le problème d’interpolation par de nouvelles B-splines. Nous étudions l’interpolation cardinale et nous résolvons le problème d’interpolation de Lagrange sur un domaine rectangulaire borné de IR². Enfin, dans la dernière partie, nous nous intéressons au problème d’approximation des données sur des surfaces fermées. La sphère constitue un exemple intéressant de telles surfaces. On transforme d’abord le problème sur un domaine rectangulaire, ensuite on construit l’approximation à l’aide d’un produit tensoriel de splines algébriques et trigonométriques. Schumaker et Traas ont utilisé cette méthode, en considérant des splines d’ordre 3. Dans le but d’avoir un ordre d’approximation plus élevé, nous généralisons leurs méthodes en construisant un quasi-interpolant d’ordre quelconque. Nous montrons qu’il réalise un ordre d’approximation optimal.