Contribution à l'étude de la somme d'opérateurs monotones non-linéaires & résultats d'existence pour les problèmes d'équilibre et applications

Abstract

Dans le premier chapitre, on présente quelques résultats en calcul sous-différentiel moyennant des conditions assurant la semi-continuité inférieur (s.c.i.) de la dérivée directionnelle d’une fonction convexe s.c.i. propre définie sur un espace de Banach. Dans le deuxième chapitre, on étend un résultat de Brézis-Haraux sur le rang de la somme de deux opérateurs monotones définis sur un espace de Hilbert à un cadre de Banach général. Toujours dans ce cadre, on présente ensuite un critère assurant la maximalité de la somme de deux opérateurs maximaux monotones. Le quatrième chapitre introduit la notion d’opérateur de récession et de fonction de récession associés à un opérateur maximal monotone défini sur un Banach réflexif. On résout des équations gouvernées par des maximaux monotones non-coercifs via des hypothèses portant sur le noyau de la fonction de récession. En second volet, on traite les problèmes d’équilibre. Dans leur formulation générale, ces problèmes englobent des problèmes économiques, d’optimisations sous contraintes, de points fixes, de complémentarité et d’inéquations variationnelles. On commence par généraliser et unifier différents résultats d’existence de solutions pour de tels problèmes. Le principal outil utilisé est le célèbre lemme de Ky Fan. On donne ensuite des résultats d’existence pour les problèmes d’équilibre en utilisant les techniques de l’analyse de récession. Comme application, on résout des inéquations variationnelles et hémivariationnelles non-coercives. Ces dernières sont une formulation variationnelle de problème mécanique lorsque la fonction énergie n’est pas convexe.