Analyse mathématique de modèles de fluides viscoélastiques de type White-Mertzner

Abstract

Ce travail concerne l’étude de l’écoulement d’un fluide viscoélastique (fluide à mémoire) incompressible de type White-Metzner. A cause de la dépendance des fonctions de relaxation et de viscosité par rapport au deuxième invariant du tenseur des taux de déformation, ces modèles conduisent à un système avec équations aux dérivés partielles non linéaires (non quasi-linéaire). Ce travail comporte une partie théorique et une partie numérique. Dans la partie théorique nous nous proposons d’établir plusieurs résultats d’existence, unicité, stabilité concernant le système qui caractérise cet écoulement. Dans un premier temps on a montré, en dimension deux, sous les hypothèses convenables sur les fonctions de relaxation et de viscosité, l’existence locale et l’unicité de solutions régulières pour le problème avec données initiales et conditions aux limites. On a établie ensuite l’existence globale de solutions lorsque les données sont petites ainsi que la stabilité des petites solutions. Ceci nous a permis de démontrer l’existence de solutions petites périodiques en temps (respectivement stationnaire) du système obtenu quand la force est petite et périodique en temps (respectivement stationnaire). Dans un second temps on a étudié le problème stationnaire régi par cet écoulement en utilisant un schéma itératif. Enfin on a montré l’existence et la stabilité linéaire d’un écoulement particulier écoulement de cisaillement). Dans la partie numérique on a étudié l’écoulement de Poiseuille en proposant une méthode numérique pour le calcul de la vitesse et les contraintes.