Application of stochastic and statistic models to the spread of infectious diseases

Abstract

Les maladies infectieuses ont marqué l’histoire humaine en termes de dynamique des populations. L’étude des agents responsables de la propagation des maladies infectieuses a connu un grand développement, notamment depuis le début d’utilisation des modèles compartimentaux par Kermack et McKendrick. Leurs résultats fructueux ont inspiré de nombreux chercheurs à étendre la théorie des modèles compartimentaux à d’autres domaines, en particulier, à la propagation des virus informatiques dans un réseau. L’objectif principal de cette thèse est de construire, et d’étudier par la suite, des modèles épidémiques permettant de décrire et d’expliquer l’évolution de certains phénomènes afin de déterminer les paramètres qui contrôlent cette évolution. Aussi, en obtenant un échantillon d’occurrence des variables de ce modèle, nous visons à estimer ses paramètres (ou du moins, les plus influents). L’évaluation en termes de consistance et de normalité asymptotique des estimateurs est également une question intéressante. Une analyse détaillée d’un modèle mathématique non linéaire et général qui décrit la propagation des virus informatiques dans un réseau protégé a montré, dans sa première partie (l’étude déterministe), que le taux de reproduction de base Rp agit comme un seuil aigu déterminant si la propagation des virus informatiques est devenue endémique. Une version stochastique de ce système a été obtenue en perturbant deux de ses paramètres. Nous avons prouvé que l’augmentation de l’intensité des bruits peut conduire à éliminer les virus avec probabilité un. En inventant une fonction de Lyapunov, nous avons prouvé que le système admet une distribution stationnaire ergodique quand Rp>1 et les fluctuations sont suffisamment faibles. Cela implique la stabilité de la solution au sens stochastique. L’immigration des personnes infectées par une maladie a toujours joué un grand rôle dans la dynamique de cette maladie dans la population hôte. Une grande partie de ce travail est consacrée à l’étude d’une version stochastique d’un modèle épidémique SIS dont la matrice associée est dégénérée, et qui contient un flux constant de nouveaux membres dont une fraction donnée p est infectieuse. Nous avons montré que la solution de ce modèle est stochastiquement bornée de façon ultime et permanente pour toute valeur initiale. Ainsi, l’extinction de la maladie est impossible pour tout p>0. L’étude de l’existence d’une distribution stationnaire en recherchant une fonction de Lyapunov ne suffit pas dans ce cas. L’utilisation de la théorie des semi-groupes est une alternative forte qui assure, indépendamment des valeurs des paramètres de ce système, l’existence d’une distribution stationnaire unique. L’estimation des paramètres du modèle précédent est une question très intéressante à traiter. Nous avons consacré un chapitre à l’estimation, par deux techniques différentes, de certains paramètres du modèle. Une étude de consistance et de convergence est donnée pour déterminer le degré de crédibilité de l’estimateur. Aussi, une étude de cas sur la propagation du VIH/SIDA au Maroc est présentée comme enquête pratique.