Sur quelques problèmes d'algèbre non commutative et calcul des moyennes géométriques de matrices

Abstract

Cette thèse est scindée en trois parties : La première partie est consacrée à l’étude de structure de quelques anneaux non commutatifs. Dans le premier chapitre de cette partie nous caractérisons des anneaux à involution (R,) qui sont –premiers. En plus, nous généralisons quelques résultats connus pour des anneaux ayant un type spécial d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, nous donnons la structure des anneaux admettant une σ–dérivation d où σ est un automorphisme d’ordre 2 telle que d ο σ = σ d et d(x) inversible pour tout x ∈ R. d’autre part, pour un anneau R ayant un automorphisme d’ordre, nous établissons la relation entre les *-dérivation sur R et les σ*–dérivations sur M₂(R), où σ est l’extension naturelle de ∗ à M₂(R). Dans la seconde partie, nous trouvons des formules explicites qui permettent de calculer les moyennes géométriques de matrices. Dans le troisième chapitre, nous introduisons un exemple important des approximations rationnelles à variables matricielles et nous obtenons un développement de l’expression (A, B) = A¹² (A¹² ⁻ B¹²)¹², où A et B sont deux matrices positives et 0 < x < 1, en termes des approximantes rationnelles. Dans le quatrième chapitre, nous donnons un développement en fractions continus de l’expression (A, B). Les résultats obtenus sont illustrés par des exemples numériques. Par ailleurs, la troisième partie est une annexe consacrée à l’étude de certaines propriétés de l’anneau des invariants K[X]G et le module des invariants relatifs K[X]Gk où l est un caractère linéaire de G. Cette thèse est achevée par le calcul de la série de Hilbert de l’anneau K[X]G lorsque il est muni d’une r-graduation et G est le groupe des matrices diagonales.