Sur l'inférence non paramétrique d'un processus autorégressif non linéaire

Abstract

Cette thèse contient trois parties : la première contient l’étude probabiliste d’un processus autorégressif non linéaire d’ordre k. Toutes les variables sont à valeurs dans une espace réel de dimension h. On suppose que le bruit à l’instant n est indépendant de la tribu engendrée par les variables jusqu’à l’instant n-1. Dans un premier temps on établit des conditions suffisantes d’ergodicité sur la tribu formée par les cylindres. Puis on propose des estimateurs de la probabilité de transition, du filtre et de la densité du bruit, par la méthode du noyau. Nous déduisons ensuite des majorations des risques correspondant à chaque estimateur. Dans la deuxième partie, on considère un modèle statique additif reliant deux processus. L’observation et le bruit à l’instant n sont indépendants. On estime le filtre en utilisant un estimateur du mode conditionnel. Puis on s’est intéressé au test de l’hypothèse H₀ : il existe un réel tel que le filtre est linéaire sur un compact réel contre l’alternative H₁ : pour tout réel le filtre est non linéaire sur le même compact. L’idée générale est d’utiliser l’approximation d’un processus par un processus gaussien stationnaire. Dans la troisième partie on donne les conditions suffisantes pour montrer le théorème central limité.