Analyse numérique de modèles d'écoulements quasi-Newtoniens

Abstract

Ce travail consiste en l’étude théorique et numérique de deux modèles de fluides quasi-newtoniens : le modèle de Carreau et le modèle de Bingham modifié. Au chapitre 1, on étudie l’existence et l’unicité des solutions du problème issu des équations de l’écoulement, considéré comme un problème de minimisation avec contraintes. On caractérise la solution comme étant celle d’un problème mixte où intervient un opérateur elliptique non linéaire monotone. Le chapitre 2 est axé sur des résultats d’approximation abstraire pour des méthodes d’éléments finis mixtes. On obtient dans ce cadre non linéaire des résultats analogues à ceux connus pour les fluides Newtoniens et permettant de traiter "n’importe quel élément fini". Le chapitre 2 est axé sur des résultats identiques à deux obtenus pour Stokes. Quant au modèle de Bingham modifié, les résultats obtenus pour 1 ≤ r ≤ 2 améliorent ceux obtenus antérieurement. Ce chapitre contient aussi la démonstration d’une version "espace de Banach" du théorème de Nicholaidès concernant l’obtention d’une condition nécessaire et suffisante pour la vérification de la condition inf-sup discrète. On y rappelle enfin certains résultats concernant l’interpolation de fonctions discontinues. Au chapitre 3, on applique les résultats abstraits du chapitre précédent à quelques méthodes d’éléments finis mixtes, développés en général pour la résolution numérique du problème de Stokes. Enfin, au chapitre 4, nous présentons des résultats numériques que nous avons testé sur nos deux classes de modèles : Carreau et Bingham modifié, approchés par une méthode mixte d’éléments finis P₁ flux –Po.