Study of some nonlinear elliptic and parabolic systems in different settings

Abstract

Dans la monographie suivante, nous abordons les questions de la théorie de l’existence et de l’unicité aux problèmes des systèmes elliptiques et paraboliques quasi-linéaires sous forme de divergence dans différents espaces. La théorie des mesures de Young et la méthode de Galerkin sont les arguments de base utilisés à travers l’analyse de ce travail. De plus, nous permettons à nos opérateurs fonctionnels de satisfaire différents types d’hypothèses de monotonie faible (légère). Soit n ≥ 2 un entier et W un sous-ensemble ouvert borné de Rn. Par Q, nous désignons le cylindre d’espace-temps W × (0, T) pour un temps donné T > 0, et Mm×n représente l’espace réel de m × n-matrices équipées du produit intérieur x : h = ∑i,j xijhij (pour x, h 2 Mm×n). Dans tout ce texte, u : W ! Rm est une fonction vectorielle et Du est la partie symétrique du gradient ru, c’est-à-dire Du = 1/2(ru + (ru)t). Considérons d’abord le système elliptique quasi-linéaire suivant donné sous une forme générique: 8<: −div s(x, u, Du) = f in W, u = 0 on ¶W. (0.0.4) La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude de l’existence de solutions faibles de certains systèmes elliptiques similaires à (0.0.4) dans le cadre d’espaces de Sobolev W1,p 0 (W; Rm) et notre fonction s : W × Rm × Mm×n ! Mm×n satisfait certaines conditions de type Leray-Lions. À cette fin, nous prouverons l’existence de solutions faibles à un système parabolique fortement non-linéaire donné sous la forme 8>>><>>>: ¶u ¶t − div s(x, t, u, Du) + H(x, t, u, Du) = f in Q, u(x, t) = 0 on ¶Q, u(x, 0) = u0(.) in W, (0.0.5) où f 2 Lp0(0, T; W−1,p0(W; Rm)) et H : Q × Rm × Mm×n ! Rm. Le résultat recherché est prouvé sous certaines conditions sur les fonctions s et H.La seconde partie de cette thèse concerne le cas où l’exposant p n’est plus constant, mais dépend de x, c’est-à-dire p ≡ p(x). Plusieurs types de systèmes elliptiques quasi-linéaires similaires à (0.0.4) seront alors considérés. Certains d’entre eux sont l’extension de ceux précédemment traités dans la première partie au cas des espaces de Sobolev à exposants variables W1,p(x)(W; Rm) = nu 2 Lp(x)(W; Rm) : Du 2 Lp(x)(W; Mm×n)o. L’objectif de la troisième partie est d’étendre les hypothèses classiques de croissance et de coercivité (c’est-à-dire les conditions polynomiales) énoncées dans [85] aux conditions générales formulées par des N-fonctions qui définissent l’espace d’Orlicz-Sobolev W1 0 LM(W; Rm). Nous montrerons l’existence de solutions faibles pour le système elliptique quasi-linéaire (0.0.4) pour f 2 W−1LM(W; Rm). De plus, nous allons également permettre à f de dépendre de l’inconnu u : W ! Rm et Du, et prouver le résultat nécessaire sous d’autres conditions sur f (x, u, Du). La quatrième partie traite des résultats d’existence et d’unicité pour (0.0.5) lorsque s est indépendante de u, H ≡ 0 et f appartient à W−1,xLM(Q; Rm). De plus, nous traitons le cas où f appartient au dual de X(Q) := nu 2 L2(Q; Rm)/ Du 2 LM(Q; Mm×n); u(t) := u(., t) 2 W01LM(W; Rm) a.e. t 2 [0, T]o. Enfin et surtout, la dernière partie de cette thèse traite du résultat d’existence pour les écoulements réguliers de fluides quasi-newtoniens (c’est-à-dire, les systèmes de Stokes) associés à (0.0.4) donné sous la forme − div s(x, u, Du) + u.ru + rp = f in W, (0.0.6) où p : W ! R désigne la pression et u.ru est le terme convectif. La présence de ce terme dans le problème principal (0.0.6) nous permet de définir un espace d’Orlicz-Sobolev adapté de divergence nul. A la fin de cette dernière partie, nous étendons le résultat précédent au cas évolutif et prouvons l’existence de solutions faibles pour f 2 Wdiv −1,xLM(Q; Rm) au moyen de mesures de Young et d’hypothèses de monotonie faible.Les principaux outils utilisés dans toutes les parties de cette thèse sont la méthode de Galerkin pour construire les solutions approximatives et la théorie des mesures de Young, qui permettent d’identifier les limites faibles des fonctionnelles et des opérateurs, pour passer à la limite dans les équations approximatives. À notre connaissance, l’étude considérée dans cette thèse est en quelque sorte pionnière puisque les deux classes d’équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques n’ont pas fait l’objet de recherches antérieures. Comme nous le savons, la recherche sur les mesures de Young générées par des séquences dans les espaces de Sobolev à exposants variables et les espaces d’Orlicz-Sobolev est toujours en cours d’exploration. Les résultats obtenus sont originaux et enrichissent la théorie de l’existence de tels problèmes au moyen des mesures Young dans différents espaces.