Étude de l’équation et l’inclusion différentielle fractionnaire de Langevin

Abstract

Les équations différentielles fractionnaires ont connu récemment une grande attention, grâce à l’intérêt que présente la dérivation fractionnaire dans la modélisation de certains phénomènes physiques qui présentent des termes à mémoire dans leurs structures, et aussi elle ouvre des champs riches d’applications mathématiques qui font l’objet de divers travaux de recherche. Cette thèse a pour objet de contribuer dans cette théorie, en introduisant au départ quelques éléments de base du calcul fractionnaire, analyse multivoque et quelques concepts préliminaires. Ensuite, dans le chapitre 2 la question d’existence de la solution d’une in clusion différentielle fractionnaire de Langevin avec la dérivée fractionnaire de Caputo est discutée en utilisant le théorème de point fixe de Leray-Schaëfer. Dans le chapitre 3, nous avons étudié l’existence et l’unicité de la solution pour une équation fractionnaire de Lan gevin via la dérivée fractionnaire de Hilfer en se basant sur le théorème du point fixe de Krasnoselskii et le théorème du point fixe de Banach, puis nous avons illustré ce résultat par un exemple d’application, et aussi nous avons étudié la version d’inclusion de ce problème. Le chapitre 4 est dédié à l’étude de l’existence, l’unicité et la stabilité d’un système couplé composé de deux équations différentielles fractionnaires de Langevin. Le chapitre 5 est une contribution qui porte sur l’inclusion différentielle fractionnaire hybride afin d’étendre ses résultats en étudiant l’inclusion différentielle fractionnaire hybride de Langevin avec la dé rivée fractionnaire ψ-Hilfer et aussi présenter un exemple d’application. Dans le chapitre 6, en se basant sur la méthode de degré topologique nous avons élaboré l’existence et l’uni cité de la solution pour une équation différentielle fractionnaire, afin d’élargir ces résultat en étudiant une équation différentielle fractionnaire via la dérivée fractionnaire ψ-Hilfer. Finalement nous avons traité l’opérateur p-Laplacien pour une équation différentielle frac tionnaire avec la dérivée fractionnaire de ψ-Caputo, en donnant un exemple d’application.