Sur le théorème de Polya-Carlson concernant les séries de puissances à coefficients entiers dans ¢ⁿ

Abstract

L’objet de ce travail est un théorème classique de Polya-Carlson sur la rationalité des séries de puissances à coefficients entiers. Dans le premier chapitre, on donne une démonstration détaillé pour ce théorème de Polya dans le cas d’une famille normale de fonctions analytiques sur ∁K, avec K un compact de ¢. Dans le second chapitre, on donne ce même résultat pour une famille normale de fonctions analytiques sur ∁K₁ x ∁K₂ x …x ∁Kn où Ki, 1≤i≤n est un compact de ¢. Dans le dernier chapitre, on donne un critère de rationalité pour les séries de puissances dans ¢ⁿ. Qui est l’analogue de celui de Kronecker en une variable. On donne aussi une estimation du type de celles de Polya et Zakharjuta pour les fonctions analytiques sur ∁K₁ x… x ∁Kn avec Ki, 1≤i≤n un compact de ¢. Cette estimation et le critère de rationalité nous permettent de donner une preuve directe du théorème de Martineau.