Contribution à l’étude de Certaines Équations aux Dérivées Fractionnaires : Méthode de Symétries de Lie.

Abstract

Le calcul fractionnaire est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des dé rivées et des intégrales d’ordres non entiers (appelées dérivées et intégrales fractionnaires). L’his toire du calcul fractionnaire a commencé presque en même temps où le calcul classique a été établi. Bien que l’idée du calcul fractionnaire soit née il y a plus de 300 ans, de sérieux efforts ont été consacrés à son étude récemment, en raison du fait que de nombreux processus en physique et en ingénierie peuvent être modélisés plus précisément par des dérivées ou des intégrales fraction naires que les dérivées ou les intégrales d’ordre entier traditionnelles. Les équations différentielles fractionnaires (EDFs) sont une généralisation des équations différentielles d’ordre entier, étudiées par la théorie du calcul fractionnaire. La méthode de symétrie de Lie est une technique puissante pour résoudre les équations différentielles d’ordre entier et d’ordre fractionnaires pour fournir une variété de solutions exactes de manière systématique. L’objectif de cette thèse est d’étendre l’approche de symétrie de Lie afin de l’appliquer à une classe plus large des équations différentielles partielles d’ordre fractionnaire qui modélisent de nombreux phénomènes physiques en science, ingénierie et finance. En outre, identifier les symé tries des EDPs au dérivées fractionnaires afin d’obtenir des solutions exactes et de construire les lois de conservations, qui sont utiles pour étudier le comportement physique des équations diffé rentielles en général. Les recherches menées dans cette thèse sont liées à l’application de méthode de symétrie de Lie aux équations différentielles d’ordre fractionnaires au sens de Riemann-Liouville, à savoir l’équation de Fokker-Planck (FP) fractionnaire bidimensionnelle et l’équation ’Regurilized Long Wave’ d’ordre fractionnaire. Des lois de conservation sont obtenues pour ces équations en utili sant le nouveau théorème de conservation dédié par Ibragimov [39, 40].