Inférence statistique des extrêmes en termes des records

Abstract

Cette thèse est une contribution à la statistique des valeurs extrêmes. Sa motivation principale est l’estimation relative aux queues de distribution. Nous avons mis en place trois estimations semi paramétriques qui sont basées sur des valeurs de records et qui sont différentes dans leur domaine d’application. D’une part, nous nous intéressons à l’estimation de l’indice de la valeur extrême. Nous introduisons des estimateurs basés sur des observations record associées à un échantillon originel de loi de fonction de répartition continue. Nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sous la condition de régularité du premier et du second ordre. Essentiellement, ces deux questions sont abordées. Pour la première, une méthode de minimisation de l’erreur carrée asymptotique en moyenne quadratique est développée. Pour la seconde, une réduction du biais est proposée en faisant introduire une nouvelle estimation supplémentaire de l’indice de régularité du second ordre. Cette réduction du biais a été illustrée par quelques simulations et comparée d’ailleurs avec un autre estimateur. D’autre part, nous nous plaçons dans le domaine d’attraction de Gumbel dont les distributions les plus connues sont les distributions ayant des queues de type-Weibull. Ces distributions sont indexées par un paramètre appelé coefficient de Weibull. Notre intérêt premier ici réside dans l’estimation de quantiles d’événement rares qui nécessite au préalable l’estimation du coefficient de Weibull. A l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, une classe des estimateurs de ce paramètre est proposée. Ensuite, une méthode de sélection automatique pour la mise en œuvre pratique des ces estimateurs est élaborée. Finalement, nous définissons notre estimateur du quantile extrême en établissant ses propriétés asymptotiques sous certaines conditions.