Algèbres de fonctions et calcul fonctionnel

Abstract

Ce travail est divisé en deux parties disjointes. Dans la première partie on définit l’algèbre C¹s(U) pour U voisinage d’un compact K de C et δ une fonction lipschitzienne et positive dans U, telle que S⁽¹⁾{0} = K et δ très plate au voisine de K. On étudie cette algèbre et on montre que la formule de Bochner-Martinelli appliquée à un élément de l’algèbre C¹s(U) reste valable seulement pour les points de K. On montre que la restriction à K d’un élément h de C¹s(U) est de classe C au sens de Whitney et ∂–plate sur K. le résultat de J. Chaunmat et A. M. Chollet s’obtient comme corollaire de notre résultat. Pour K = ((ƒ₁,…,ƒn) spectre similaire de (ƒ₁,…,ƒn) dans (S(IRp))ⁿ munie de la multiplication, on montre que C¹s(σ(ƒ₁,…,ƒn)) est une algèbre utile pour le calcul fonctionnel. On établit le théorème de composition, dû dans le cas holomorphe à Waelbroeck. De même pour le théorème des fonctions implicites, dû dans le cas holomorphe à Arens et Caldéron. Dans la deuxième partie de ce travail, on reprend un problème résolu partiellement dans ma thèse de Doctorat d’Université. Ce problème concerne le calcul symbolique dans l’algèbre As(IRⁿ) ; problème déjà résolu pour n = 1 et ½ ≤ δ < 1. On résoud complètement ce problème pour n quelconque et 0≤ δ < 1 et on établit que l’algèbre As (IRⁿ) est limite inductive stricte d’algèbres hermitiennes. On remarque que pour n = 1 et 0≤ δ < 1 on arrive à contrôler la croissance de la résolvante, malheureusement pour n>1 et 0≤ δ < 1 le problème est ouvert.