Principes Variationnels et aspects Géométriques des espaces de Banach

Abstract

Nous donnons un principe Variationnel lisse de type Deville-Goderfroy-Zizler dans les espaces de Banach vérifiant la propriété de radon-Nikodým. Comme conséquence de ce principe Variationnel nous donnons une généralisation non triviale du théorème de Bishop-Phelps. Etudiant des problèmes de minimisation, dans un premier temps, nous avons défini et étudié deux fonctions C-écartement minimal et C-écartement maximal. Ceci nous permet d’établir une généralisation de deux théorèmes de Lau, où la jauge d’un convexe tient le rôle de la norme. Dans un deuxième temps, le théorème de séparation de Hahn-Banach signifie l’existence d’un hyperplan séparant deux convexes. Nous donnons une sorte de généralisation de ce théorème, en montrant qu’on peut séparer deux ensembles non forcément convexes, par une famille de formes linéaires linéairement indépendantes. A une approche analytique on peut souvent associer une approche géométrique dont l’étude complète éclaire ou stimule l’approche analytique. Ainsi aux principes Variationnel lisses, nous associons des principes ; c’est la théorie de la goutte lisse.