Contribution à l'étude de structures de bifurcations rencontrées en systèmes dynamiques non linéaires

Abstract

Cette étude se situe dans le cadre de la théorie qualitative, numérique et analytique des systèmes dynamiques non linéaires et en particulier l’identification de structures complexes de bifurcations dans un plan paramétrique et de son évolution quand un troisième paramètre varie, pour les équations de Duffing-Rayleïgh et de Duffing à excitation périodique non symétrique. Dans une première partie, pour l’équation de Duffing à excitation périodique non symétrique, la mise en évidence d’une cascade de structures en lèvres par doublement de période, ainsi que l’identification d’un nouveau mécanisme de transition d’une zone source symétrique en zone échangeur non symétrique sous l’effet de la variation d’un troisième paramètre, qui est l’amortissement. Des transitions de type ‘quasi-lèvre’ (type q) ↔‘lèvre’, q=1 et 3 et de type deux lèvres séparées à une quadruple que d’Aronde ont été également identifiées. Dans une troisième partie, pour l’équation de Duffing-Rayleïgh, une analyse approfondie des courbes de bifurcations de Neïmark (ou de Poincaré-Hopf) d’ordre k est faite, la traversée de telles courbes dans le plan de phase discret, correspond à la naissance de k courbes fermées invariantes à partir de k oints d’un cycle de type foyer d’ordre k. Trois classes d’harmoniques fractionnaires réductibles sont définies. Les domaines de ces harmoniques fractionnaires mr/r, ont une organisation ‘boîtes en files’ dans le plan paramétrique feuilleté. Par la variation d’un troisième paramètre, un mécanisme de transition permettant le passage d’une famille d’harmoniques fractionnaires réductibles de première en seconde espèce est identifié. La dernière partie de ce travail se rattache à la théorie analytique des systèmes dynamiques avec la détermination d’une première approximation de solutions périodiques particulières, harmoniques et sous-harmoniques d’ordre k. pour la synchronisation harmonique on montre s’il existe au plus trois solutions périodiques alors que pour les sous-harmoniques d’ordre k existe au plus deux solutions différentes. Chaque solution correspond à un feuillet différent du plan paramétrique, paramétrique, la jonction entre ces feuillets se fait par une courbe de bifurcation de type ‘nœud-col’ ou ‘fold’.