Riemannian Geometry of Vector Bundles

Abstract

En particulier, nous appliquons le résultat précédent aux métriques à symétrie sphérique et aux métriques de Cheeger-Gromoll généralisées. Plus précisément, nous démontrons le résultat suivant. Théorème. Supposons que l’espace total E soit muni d’une métrique G appartenant à l’une des classes suivantes : (i) les métriques à symétrie sphérique définies par les fonctions poids φ1 et φ2, avec φ1 bornée ; (ii) les métriques de Cheeger-Gromoll généralisées. Alors, la variété riemannienne E,G) est complète si et seulement si la variété de base (M,g) est complète. De plus, notre résultat principal s’applique également à une sous-classe des métriques g-naturelles définies sur le fibré tangent et le fibré tangent unitaire, à savoir les métriques de type Kaluza-Klein. Par la suite, nous étudions les symétries infinitésimales associées aux métriques à symétrie sphérique, notamment les champs de vecteurs fermés, conformes et de Killing. Nous construisons plusieurs exemples de champs de vecteurs conformes. En particulier, nous nous intéressons aux relèvements horizontaux des champs de vecteurs de la base ainsi qu’aux relèvements verticaux des sections du fibré considéré. Dans le cas des relèvements horizontaux, nous établissons le résultat suivant. Théorème. Soit X un champ de vecteurs sur la variété de base M. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes : (i) le relèvement horizontal Xh de X est un champ conforme sur E ; (ii) le champ Xh est un champ de Killing sur E ; (iii) X est un champ de Killing sur M et RE(X,⋅)=0, où RE désigne le tenseur de courbure de la connexion D. En réalité, nous établissons une généralisation de ce résultat pour des champs de vecteurs horizontaux qui ne sont pas nécessairement des relèvements horizontaux. D'autre part, nous caractérisons les champs de vecteurs verticaux conformes. En particulier, concernant les relèvements verticaux des sections, nous démontrons le résultat suivant. Théorème. Soit σ une section non nulle de E. Alors, son relèvement vertical σvest un champ de vecteurs conforme, de fonction potentielle f, si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) pour tout e ∈ E, f(e)=φ1′(r) h(σ(π(e)),e),où r = h(e,e) ; (ii) φ1′=φ2′ sur R+ ; (iii) σ est parallèle. En outre, nous proposons une classification des champs de vecteurs de Killing horizontaux et nous nous intéressons aux champs de vecteurs gradients associés à certaines classes de fonctions. Les propriétés de courbure des métriques à symétrie sphérique font ensuite l'objet d'une étude approfondie. Nous commençons par examiner la question de leur hérédité. Plus précisément, nous démontrons que si l'espace total E, muni d'une métrique à symétrie sphérique, est plat, à courbure sectionnelle constante, d'Einstein ou à courbure scalaire constante, alors la variété de base M possède respectivement la même propriété. Plus intéressante encore est l'étude de la question réciproque, qui consiste à déterminer dans quelles conditions l'espace total possède une propriété géométrique remarquable lorsque la base la possède. Nous commençons par caractériser la platitude des métriques à symétrie sphérique. Plus précisément, nous établissons le résultat suivant. Théorème. Une métrique à symétrie sphérique est plate si et seulement si la variété riemannienne de base (M,g) est plate, la connexion D est plate et les fonctions poids φ1 et φ2 sont constantes. Par ailleurs, nous établissons plusieurs résultats de rigidité concernant la courbure sectionnelle des métriques à symétrie sphérique. À titre d'exemple, nous démontrons le résultat suivant. Théorème. Soit G une métrique à symétrie sphérique définie par les fonctions poids φ1 et φ2. Supposons que φ1atteigne son minimum en 0 (par exemple, lorsque φ1 est croissante). Si l'espace total (E,G) est à courbure sectionnelle constante, alors la connexion D est plate, la variété de base ( M, g ) est plate et les fonctions poids sont constantes. Autrement dit, (E,G) est nécessairement plat. Cette situation nous conduit naturellement à étudier le signe de la courbure sectionnelle et à rechercher des métriques à symétrie sphérique dont la courbure sectionnelle est bornée. Dans le cas où la connexion D est plate, nous construisons ainsi des exemples de métriques à symétrie sphérique à courbure sectionnelle bornée. Dans le même esprit, nous étudions les propriétés géométriques liées au tenseur de courbure de Ricci. En particulier, lorsque la connexion est plate, nous construisons une famille à deux paramètres de métriques d'Einstein parmi les métriques à symétrie sphérique. Nous établissons également plusieurs résultats de rigidité relatifs à la courbure de Ricci. Par exemple, nous obtenons les résultats suivants. Théorème. Supposons que E soit un fibré en droites muni d'une métrique à symétrie sphérique telle que φ 1=0. Alors, (E,G) est une variété d'Einstein si et seulement si elle est Ricci-plate, la variété de base (M,g) est Ricci-plate et la connexion D est plate. Théorème. Supposons que le rang de E soit k≥2 et que (E,G) soit Ricci-plate. Si la fonction r⟼rφ2′(r) est décroissante, alors la connexion D est plate, la variété de base (M,g) est Ricci-plate et la fonction φ2 est constante. La réciproque est également vraie. Nous établissons ensuite d'autres résultats de rigidité concernant la courbure de Ricci, aussi bien dans le cas d'une connexion arbitraire que dans celui d'une connexion plate. Concernant la courbure scalaire, nous démontrons également de nombreux résultats de rigidité. Dans le cas particulier des fibrés en droites, nous obtenons le résultat suivant. Théorème. Soit (E,G) un fibré en droites muni d'une métrique à symétrie sphérique G. Alors, (E,G) est à courbure scalaire constante Sc~si et seulement si (M,g) est à courbure scalaire constante Sc=Sc~ et la connexion D est plate. Nous établissons également, dans le cas des fibrés vectoriels de rang 2, le résultat suivant. Théorème. Soit E un fibré vectoriel de rang k=2, muni d'une métrique à symétrie sphérique G définie par les fonctions poids φ1 et φ2. Supposons que la fonction r⟼rφ2′(r)soit croissante et que φ2′(0)=0. Si (E,G) est à courbure scalaire constante, alors la variété de base (M,g) est à courbure scalaire constante, la connexion D est plate et la fonction φ2 est constante. Des résultats analogues sont établis pour les rangs supérieurs, sous certaines hypothèses portant sur le signe et la monotonie des fonctions poids. En particulier, nous généralisons plusieurs résultats de rigidité connus dans le cadre de la métrique de Sasaki. Une autre propriété géométrique que nous étudions, dans le cas des connexions plates, est la symétrie locale. Nous démontrons le résultat suivant. Théorème. Supposons que le rang de E soit k≥2, que la connexion D soit plate et que G soit une métrique à symétrie sphérique sur E. Alors, (E,G) est localement symétrique si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) la fonction φ 1 est constante ; (ii) soit φ2 est constante, soit φ2(r)=ln⁡ (r+c) ,pour tout r ∈R+, où c≥0 est une constante ; (iii) la variété de base (M,g) est localement symétrique. Enfin, nous nous intéressons aux sections harmoniques. À cet effet, nous considérons trois notions d'harmonicité pour les sections : les sections harmoniques considérées comme des applications (cf. [24, 25, 77, 86]) ; les sections qui sont des points critiques de la fonctionnelle d'énergie, lorsque les variations sont constituées de sections (cf. [55]) ; l'harmonicité verticale, qui correspond au fait d'être un point critique de la fonctionnelle d'énergie (cf. [83]). Pour chacune de ces trois notions, nous établissons les équations d'Euler-Lagrange correspondantes. En raison de la complexité de ces équations, nous nous limitons principalement à l'établissement de conditions nécessaires et suffisantes dans le cas des sections parallèles et des sections de longueur constante. En particulier, nous généralisons un résultat de J. Konderak ([43]) de la manière suivante. Théorème. Supposons que M soit compacte et que E soit muni d'une métrique à symétrie sphérique définie par les fonctions poids φ1 et φ2. Si φ1′ est positive et si 1+2rφ2′(r) est strictement positive sur Σσ={r=h(σ,σ)(x) : x∈M}, ou, respectivement, si φ1′ est négative et si 1+2rφ2′(r) est strictement négative sur Σσ, alors toute section harmonique σ de E est parallèle et sa norme est constante. De plus, si φ1′≠0, alors nécessairement σ=0. Enfin, nous proposons plusieurs exemples de sections harmoniques.