On zero-divisor graphs of commutative rings

Abstract

La notion de graphe des diviseurs de zéro Γ(R) d'un anneau commutatif R a été introduite par D.F. Anderson et Livingston dans (The zero-divisor graph of a commutative ring, J. Algebra, 217, (1999), 434 - 447), qui a pour but d'étudier la relation entre les propriétés algébriques de l'anneau R et les propriétés graphiques du graphe Γ(R). Motivé par le succès de ce nouveau domaine de recherche, plusieurs auteurs ont introduit d'autres graphes associés à certaines propriétés algébriques de l'anneau. Dans ce cadre nous avons introduit et étudié durant notre étude doctorale une extension du graphe des diviseurs de zéro classique d'un anneau commutatif R, noté Γ ̅(R) et appelé graphe des diviseurs de zéro prolongé. Nous avons établis une étude générale de ce nouveau type de graphes. Notamment, nous avons caractérisé quand Γ(R) et Γ ̅(R) coïncident. Nous avons étudié, entre autres, le diamètre et la maille de Γ ̅(R). En outre, une étude des propriétés des graphes des diviseurs de zéro prolongé des idéalisations est aussi effectuée. Nous avons aussi étudié la relation entre le graphe des diviseurs de zéro prolongé et le graphe annihilateur qui est aussi une extension du graphe classique. Enfin, nous avons récemment initié un nouveau projet de recherche qui consiste à étudier les codes binaires associés aux graphes des diviseurs de zéro.