contact problems with coulomb friction in elasto-plasticity and electro-elasto-plasticity for hencky type materials: mathematical study and numerical resolution

Abstract

Ce travail de thèse concerne l’analyse variationnelle et numérique de quelques problèmes non linéaires de contact avec ou sans frottement issus de la mécanique du contact. Cette analyse est traitée dans des processus statiques et sous l’hypothèse des petites déformations pour des matériaux de type Hencky élasto-plastique et électro-élasto-plastique. Le contexte général dans lequel se situe l’étude présentée dans ce mémoire est celui des équations aux dérivées partielles non linéaires intervenant dans le domaine de la mécanique du contact. Ce travail est composé de quatre parties qui s’articulent successivement autour de la modélisation mécanique, analyse variationnelle et numérique de quelques problèmes non linéaires issus de la mécanique du contact. La première partie est consacrée aux outils mathématiques et mécaniques nécessaires à une meilleure compréhension des problèmes étudiés dans ce mémoire. Nous présentons les divers modèles mécaniques de contact considérés, puis nous rappelons les espaces fonctionnels et les principales notations utilisées dans ce manuscrit. La deuxième partie est consacrée à l’étude mathématique et numérique d’un problème de contact unilatéral avec frottement non-locale de Coulomb. Après avoir établi un théorème d’existence et d’unicité de la solution faible sous certaines hypothèses, nous présentons un schéma itératif successive du point fixe qui transforme le problème de contact élasto-plastique avec la loi de frottement de Coulomb en une suite de problèmes de contact avec la loi de Tresca en élasticité linéaire. Les conditions aux limites de contact sont traités numériquement, en utilisant la méthode de Lagrangienne Augmentée combinée avec la relaxation par bloc d’Uzawa, d’une part, et l’approche par pénalisation, d’autre part. La troisième partie concerne l’étude théorique et numérique de deux modèles mathématiques qui décrivent le contact entre un corps piézoélectrique et une fondation rigide conductrice. La v Résumé loi constitutive non linéaire du matériau de type Hencky est supposée électro-élasto-plastique dans des processus statiques. Le contact est modélisé en utilisant les conditions de Signorini ou conditions de contact avec compliance normale, la loi de frottement de Coulomb non local et une condition de contact électrique régularisée. Pour chaque modèle mathématique, nous donnons un théorème d’existence et d’unicité. Puis, nous étudions un résultat intéressant d’un point de vue physique et numérique, où nous pouvons observer que la solution du problème qui décrit le contact avec frottement non-local entre un corps piézoélectrique et une fondation électriquement conductrice, s’approche si près de celle du problème du contact sans frotte ment entre un corps piézoélectrique et une fondation non-conductrice, quand les coefficients de frottement et de conductivité électrique se rapprochent si près de zéro. Enfin, nous obtenons des solutions numériques des problèmes à l’aide d’une méthode itérative successive du point fixe; nous établissons également leur convergence, et nous réalisons le traitement numérique des conditions de contact par une formulation de type Lagrangien Augmentée combinée avec des algorithmes de type Uzawa. La quatrième partie consiste à mettre en œuvre les méthodes numériques à travers une série d’expériences numériques sur des problèmes test bidimensionnels visant à illustrer, entre autres, la convergence et la performance des algorithmes présentés dans les chapitres précédents par la méthode des éléments finis triangulaire P1.