Cônes convexes dans l’étude structurelle des algèbres topologiques évolutives

Abstract

L’objet de ce travail est d’exploiter les notions de cônes convexes dans l’étude structurelle des algèbres topologiques involutives. Nous montrons, entre autres, qu’une Q-*-a.l.m.c. complète, symétrique et unitaire est normal. Celle-ci est en plus de dimension finie lorsqu’il est nucléaire. Cette approche est utilisée pour donner des théorèmes de type Vidav-Palmer dans le cadre des algèbres m-convexes ; de plus les preuves ne font pas appel au théorème classique sur les V-algèbres. Elle est aussi utilisée pour la caractérisation des a.l.m.c. complètes et unitaires dont l’ensemble des éléments positifs est totalement ordonné. Ces résultats appliqués à la complexifiée d’une algèbre de Banach réelle en tant qu’algèbre de Banach complexe à involution généralisée permettant de caractériser les algèbres strictement réelles ainsi que l’algèbre C(K,R), des fonctions réelles continues sur un compact K, munie des opérations usuelles. La notion de cône est également utilisée pour obtenir des théorèmes de continuité automatique de morphismes d’algèbres.