Modeling and Analysis of Anisotropic Nonlinear Diffusion Equations Applied to Digital Images

Abstract

Depuis des décennies, les images numériques sont considérées comme un instrument crucial dans tout système de vision artificielle. Pendant ce temps-là, les mathématiciens ont joué un rôle essentiel dans le développement de théories liées à une grande variété d’applications telles que la restauration d’images et la détection des bords. Dans ce contexte, la présente thèse donne tout d’abord un aperçu des études de recherche remarquables de divers modèles basés sur l’équation de diffusion dans le traitement et l’analyse des images. Principalement, une analyse comportementale du modèle de Perona et Malik est présentée et discutée. Ensuite, un nouveau modèle de diffusion non linéaire est construit comme une équation d’évolution parabolique, basée sur l’hypothèse que la diffusion doit être anisotrope, non linéaire et cohérente avec la structure de l’image numérique. Ensuite, pour effectuer une analyse théorique du modèle proposé, nous adoptons une stratégie possible combinant la méthode itérative et la méthode de monotonicité. D’une part, nous appliquons la méthode itérative implicite pour approximer le problème d’évolution par des problèmes elliptiques. Puis, nous utilisons une approche variationnelle pour prouver, étape par étape, l’existence de solutions faibles pour chaque problème elliptique dans un cadre fonctionnel approprié impliquant les espaces d’Orlicz. D’autre part, nous construisons une solution approximative pour le problème d’évolution en utilisant les solutions faibles ci-dessus. Par la suite, nous montrons qu’une unique solution faible pour le problème d’évolution peut être extraite en utilisant une estimation de l’énergie, l’intégrabilité bornée et uniforme dans L 1 , et la méthode de monotonicité. Enfin, nous considérons un schéma cohérent et stable pour implémenter numériquement notre modèle de diffusion non linéaire en utilisant des schémas de différences finies explicites et centraux.