Non-Polynomial Hermite Splines Interpolation

Abstract

Plusieurs disciplines des sciences, de l'ingénierie et de l'économie utilisent l'interpolation et l'approximation comme techniques numériques spécifiques et cruciales pour résoudre des problèmes tels que la reconstruction de formes, la fabrication de pièces mécaniques, la visualisation des organes du corps humain, etc. Cependant, lorsque la forme est compliquée, il est difficile de déterminer la forme de la fonction sous-jacente des données de mesure à l'aide d'un seul polynôme. Par conséquent, l'utilisation d'une fonction lisse en morceaux dans cette situation est préférable. Le terme "spline" fait référence à cette fonction particulière. Les splines font partie des fonctions d'interpolation et d'approximation les plus utiles en raison de leur facilité de construction et de leur capacité à approximer des formes complexes. Dans cette thèse, nous proposons une construction composite de l'interpolant spline d'Hermite en adoptant deux techniques, à savoir la minimisation des pentes et l'insertion de nœuds supplémentaires. Pour établir le premier interpolant, nous devons d'abord résoudre un problème d'interpolation d'Hermite dans l'espace d'un spline cubique de trigonométrie algébrique (AT). Ensuite, les pentes de l'interpolant sont estimées en minimisant l'oscillation de la première dérivée. Ensuite, une interpolation spline AT hermitienne quadratique a également été considérée en ajoutant des nœuds supplémentaires. Cet interpolant est construit pour réduire le coût computationnel du spline cubique Hermite AT et éviter de résoudre tout système d'équations. De plus, cette méthode permet à l'utilisateur d'ajuster les emplacements des nœuds ajoutés pour préserver la monotonie des données. L'interpolation des splines cubiques Hermite dans l'espace des fonctions algébriques hyperboliques (AH) a également été étudiée. Cet interpolant reproduit des polynômes linéaires et des fonctions hyperboliques. Ensuite, le temps de montée d'un système du second ordre est ajusté en fonction du rapport d'amortissement à l'aide d'un schéma spline hyperbolique algébrique d'Hermite. Enfin, nous abordons l'approximation avec un schéma d'interpolation spline cubique Hermite reproduisant des polynômes linéaires et des fonctions hyperboliques. Le schéma d'interpolation est principalement défini en utilisant des valeurs intégrales sur les sous-intervalles d'une fonction à approximer plutôt que la fonction et ses valeurs de première dérivée. En conséquence, le schéma fournit un ordre de convergence optimal.