On Some Nonlinear Elliptic And Parabolic Problems With General Measure Data

Abstract

Nous nous intéressons ici aux équations elliptiques et paraboliques ayant des données peu régulières : des mesures. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques outils de base, des résultats préliminaires concernant la théorie des problèmes elliptiques et paraboliques à données mesures, nous indiquons la version généralisée des espaces de Lebesgue et de Sobolev et les résultats usuels d’existence. De plus nous introduisons les notations utilisées dans le rapport de thèse. Le deuxième chapitre traite le cas d’un problème de Dirichlet de forme divergentielle avec une mesure de Radon avec une variation bornée totale et une croissance variable, utilisant des solutions au sens de distributions, nous montrons l’existence et l’unicité des solutions renormalisées en tenant compte de l’hypothèse de Log-Hölder continuité. Dans le troisième chapitre, nous cherchons la relation entre la capacité parabolique généralisée et les mesures diffuses nécessaire pour avoir l’existence et l’unicité des solutions. Le quatrième chapitre est consacré à l’étude du comportement asymptotique d’une suite de solutions renormalisées d’un problème parabolique assez général, la difficulté majeure consiste à montrer la convergence forte des troncatures en utilisant des fonctions isolées afin de traiter le terme singulier de la mesure. Dans le cinquième chapitre, notre approche d’estimation concerne quelques modèles du milieu poreux obtenue par un argument de convolution de la mesure avec une suite régularisante, ainsi le résultat d’existence consiste à montrer la compacité forte des troncatures pour les solutions approchées dans l’espace d’énergie. Dans le sixième chapitre, nous établissons un résultat similaire pour une classe différente d’opérateurs, appelé équations générales du milieu poreux avec des fonctions non bornées et des mesures générales. Dans le septième chapitre, nous essayons de montrer la non-stabilité des solutions entropiques pour des inéquations variationnelles avec des données mesures concentrées sur des parties de capacité nulle plus une fonction intégrable. Le huitième chapitre concerne un résultat d’approximation qui mène à l’existence des solutions renormalisées d’un problème quasi-linéaire de diffusion avec des fonctions qui explosent pour une valeur finie du variable et une mesure générale. Le rapport termine par une collection de quelques problèmes ouverts et des remarques importantes nécessaires au développement de ce travail.